Matematiske kunnskaper hos en 6-åring

Samtaleoppgave i M1 Høst -95

Innledning

Opprinnelig hadde jeg tenkt å samtale med et annet barn og hadde klarert dette med barnets mor, men det skulle vise seg å være vanskelig få realisert dette. Tiden gikk, og lite skjedde. Da jeg kom hjem fra skolen den 26. september var tilfeldigvis en annen venninne av min samboer på besøk med sine barn. Jeg fikk lov til snakke med hennes datter L. Det hele ble derfor ganske spontant gjennomført da muligheten bød seg. Forberedelsene begrenset seg til å ha tenkt gjennom oppgaven og å ha notert en del stikkord på forhånd. Dette ble delvis gjort i gruppe i forbindelse med en øvelse i pedagogikk, delvis på egen hånd. Jeg hadde også på forhånd bestemt meg for ikke å ha et detaljert opplegg for gjennomføringen, da jeg mener at en slik utspørring må foregå på barnets premisser og at progresjonen må baseres på barnets faktiske reaksjoner.

L er ei jente på 6 år og 8 mnd. Hun har ingen eldre søsken, men en yngre bror på ca. 4 år. L har den siste måneden før samtalen gått i førskole i halv kjernetid.

Påstand

"Barna kommer til oss med en rekke kunnskaper og erfaringer (hverdagskunnskaper) når de begynner på skolen. Barna har for eksempel begreper om former og figurer, om å legge sammen, trekke fra, gange og dele."

Gjennomføring

Jeg spurte L om hun ville hjelpe meg med en skole-oppgave. Det var greitt for henne, så da stappet jeg en kassett i reiseradioen og hentet en pose Non Stop som konkretiserings-materiell. Det var en rekke andre personer tilstede under samtalen: Ls mor og yngre bror, samt min samboer og vår datter Zoe på to år (for ikke å glemme en katt og to finker...).

I og med at jeg ønsket at L skulle snakke så fritt som mulig ble det endel hopp mellom forskjellige emner ettersom samtalen skred frem. Rådata fra samtalen er deretter systematisert, slik at det som følger ikke er i kronologisk orden.

Tallrekken

L kunne telle til fjorten uten å bruke fingrene eller andre konkreter. Ifølge moren, og L selv, kunne hun telle til tjue, men jeg merket meg at L var usikker på rekkefølgen fra femten og opp. Jeg valgte derfor å konsentrere meg om det "sikre" området opp til fjorten. L kunne telle baklengs fra ti. Hun kunne ikke skrive tall. Selv om L etter min vurdering hadde en noe usikker tallforståelse (mer om dette senere) hadde hun utviklet et hverdagsspråk som elegant omgikk problemene med ikke å kjenne store tall:

- Hvor gammel er du?

- Seks år.

- Kan du gjette hvor gammel jeg er?

- Voksen... (Jeg tror i hvert fall at hun sier voksen, det er mulig hun sier "stor". Kassetten er ikke så lett å tolke, da Zoe på dette tidspunkt hadde oppdaget at konkretiserings-materiellet var spiselig og derfor satt og messet "Zoe meij!, Zoe meij!"...)

- Kan du gjette hvor mange bøker det står i den bokhylla der?

- Mange! (Hvilket for så vidt er helt riktig, det står borti tusen bind i den bokhylla.)

Geometri

Jeg ba L tegne en firkant, hvilket gikk fort og greitt. En trekant var en større utfordring; hun nølte og sa det var vanskelig, men tegnet så en fin trekant. Hun tegnet først en strek, og tenkte seg så grundig om før hun tegnet en ny strek i vinkel. Ny tenkepause før den tredje streken lukket trekanten. En runding gikk lett og fint. Til sist tegnet hun uoppfordret den rombe-formede steinen i ringen sin, og fargela alle figurene. Hun kjente ikke betegnelsen rombe. Tegningene ligger vedlagt. Trekanten er den interessante figuren her. Selv om L ikke kunne forklare verbalt hvorfor f. eks. en trekant så ut som den gjorde, så må hun ha hatt en indre ide om dette. Firkanten og rundingen kunne hun antagelig "på rams" (Jeg vet ikke om en kan snakke om tabellariske kunnskaper om geometriske grunnformer?), men det faktum at hun klarte å tegne trekanten viser at hun enten kunne lete frem eller lage en indre algoritme for "Hvordan tegne en trekant". At det var trekanten som var vanskelig er forståelig da vår verden er full av firkanter og rundinger, mens trekanter er relativt sjeldne.

Mengder og grupper

L hadde ingen problemer med sammenligninger som "større enn", "mindre enn", "flere enn", "færre enn", "like mange" osv.

L demonstrerte interessante kunnskaper innen gruppering og behandling av grupper. Da jeg la ut to Non Stop sa hun øyeblikkelig to uten antydning til pause.

Det samme skjedde da jeg la ut en gruppe på fire Non Stop. L sa øyeblikkelig fire. Det er jo mulig at hun så dette som en firer-gruppe, men jeg tror heller at hun så dette som to toer-grupper og at dette var automatisert. L kunne ikke forklare hvordan hun visste at det var fire uten å telle. Da jeg fortsatte å legge opp til ti, talte hun seks, åtte, ti.

Denne antagelsen blir styrket av noe som skjedde senere. Det lå da fem Non Stop på bordet i mønster som OL-ringene. L så med en gang at dette var fem. På spørsmål om hvordan hun visste at det var fem, hadde hun følgende forklaring:

"Det er to på skrå der, og to på skrå der, og en i midten. Det er fem." Jeg kan vanskelig tolke dette som noe annet enn en klar indikasjon på at L klarer 2+2=4, 4+1=5 i hodet i en sammenhengende operasjon. Jeg tror hennes indre prosess her må ha vært omtrent slik: Automatiserte ferdigheter oppdager to toer-grupper, men dette er ikke nok. Dermed må de to toer-gruppene "serveres" bevisstheten som to helheter sammensatt til en firer-gruppe for videre behandling. Ls bevissthet har ingen problemer med å legge en til den eksisterende gruppen, og får fem. Siden bevisstheten måtte koples inn er L nå, i motsetning til tilfellet med fire Non Stop, oppmerksom på hvordan hun har tenkt.

Tall- og gruppebehandling

L kunne ikke klokka. L var usikker på navn og rekkefølge på ukedagene. Hun hadde ingen forslag til hvor mange måneder det er i et år, men mente å vite at det er tolv dager i uka.

Addisjon og subtraksjon

Addisjon og subtraksjon av små tall konkretisert med Non Stop gikk stort sett bra. Hun kunne også addere og subtrahere med fingrene som hjelpemiddel. L visste uten å telle at hun hadde fem fingre på hver hånd og fem tær på hver fot. Hun visste også at hun hadde til sammen ti fingre, og til sammen ti tær. På spørsmål om hvor mange alle fingrene og alle tærne var til sammen, tenkte hun seg lenge om før hun svarte atten. L forsto null i form av "ingen".

Divisjon

Divisjon av partall under ti uten rest gikk bra til å begynne med, men ble etterhvert ganske tilfeldig. Det som ikke kunne deles i toer-grupper var vanskelig.

Multiplikasjon

Multiplikasjon ble et ikke-tema. "To ganger", "dobbelt så mange" osv var ukjente begreper for L. Et eksempel kunne tyde på at hun oppfattet 6+6 som 6+(6+6). Hun skulle si stopp når hun hadde fått dobbelt så mange Non Stop som meg. Jeg hadde seks, og jeg stoppet selv utdelingen på fjorten. På spørsmål visste hun at det var fler i 14-gruppen. Hun talte 14 i gruppen, og mente hun enten hadde fått for få eller for mange.

Reversibilitet

Jeg la ut tre grupper i 2x3 mønster, jfr. illustrasjon under. L talte den ene gruppen, og visste da at det var tre grupper med seks Non Stop i hver. Hun visste også at det var like mange i hver gruppe. Jeg flyttet og spredte gruppene, og rotet til den ene , men L trengte ikke å telle på nytt for å si at det fortsatt var like mange i alle gruppene. Dette tyder på at hun behersker det Piaget kaller reversibilitet, og altså befinner seg i begynnelsen av det konkret-operasjonelle stadiet.

Etterhvert begynte det å bli lite konkretiserings-materiell, da Ls bror og Zoe hadde spist opp det meste. Begge to hadde fått mer enn nok sukker, og surret rundt oss som iltre veps. L og jeg begynte nå å snakke om terninger. L tegnet det hun mente var alle sidene på en terning, se vedlegg. At treer-siden mangler skyldes nok mest distraksjoner fra omgivelsene og at L begynte å gå lei. Vi avsluttet samtalen kort tid etter dette.

Konklusjon

Jeg opplever denne oppgaven som en underlig, men lærerik prosess. Før jeg hadde samtalen med L tok jeg det nærmest som en selvfølge at oppgavens påstand var riktig, at barn under skolealder hadde rike, om enn uformelle, kunnskaper og ferdigheter innen matematikk. Rett etter at samtalen var gjennomført hadde jeg mest følelsen av at hverken L eller jeg hadde peiling på noe som helst, og i særdeleshet ikke matematikk. Det føltes som om jeg ikke hadde funnet ut noe som helst, ikke engang om det var noe å finne ut. Mens jeg har skrevet denne rapporten og forsøkt å analysere og systematisere rådataene har dette langsomt endret seg igjen. Jeg er tilbake til den oppfatning at barn har omfattende matematiske kunnskaper og ferdigheter. Det som gjorde det vanskelig for meg å forstå dette lå i at de er nettopp hverdagskunnskaper, og at de uttrykkes gjennom et lite formalisert og ufullstendig utviklet språk. Problemene er altså i større grad knyttet til begrepsuttrykket enn til begrepsinnholdet. Jeg har ikke kommet full sirkel, men ett tørn langs spiralen...

Hva slags kunnskaper og ferdigheter mener jeg så å kunne identifisere?

• L kjenner til et tallområde
• L har en begynnende tallforståelse
• L har kunnskaper om geometriske grunnformer
• L kan sammenligne grupper og mengder
• L har begynnende automatisering av regneferdigheter
• L ser mønstre i grupper og former
• L kan legge sammen og trekke fra innen tallområdet sitt
• L har en gryende forståelse av divisjon
• L behersker reversibilitet

Avslutning

Det er endel ting jeg nok vil gjøre annerledes ved en eventuell gjentagelse av en oppgave som denne.

Man kan trygt si at forholdene rundt denne samtalen var mindre enn optimale. Zoe og Ls bror oppdaget allerede ved første subtraksjon at konkretiserings-materiellet var spiselig, og var etter dette temmelig innpåslitne. Ls bror ble forsøkt avledet med en videofilm, men for det første var dette minst like effektiv avledning av L, og for det annet var videokassetten defekt, slik at jeg måtte bort og fikse feilen. L var litt sjenert, slik at når Ls mor fra tid til annen forsøkte å "hinte" litt, så tror jeg dette gjorde vondt værre. Telefonen ringte midt under samtalen; det var selvfølgelig til meg. Kassettradioen hadde kort nettledning, slik at jeg kom nærmere mikrofonen enn L. Siden L snakket ganske lavt måtte jeg skru volumet så høyt under senere avspilling at trommehinnene mine omtrent møttes på midten hver gang jeg snakket.

Det kunne derfor være fristende å foreslå den motsatte ytterlighet som en mulig løsning: Hiv ut alle tilskuere, voksne som barn, lås dørene og heng opp et "Ikke forstyrr"-skilt, trekk ut telefonen og slå av alle tekniske remedier. Men dette er nok heller ingen farbar vei; i disse mistenksomme tider kan slik atferd lett misforstås...

Som et minimum bør man avstå fra spiselig konkretiserings-materiell med andre barn til stede.

Jeg hadde ikke lest teori-kapittelet i MJH før samtalen. Dette var både en fordel og en ulempe. En ulempe fordi stoffet ville ha vært nyttig ballast under samtalen, men en fordel fordi jeg hadde ferske, praktiske eksempler når jeg til sist leste kapittelet. Dette gjorde at jeg opplevde stoffet som svært interessant og nyttig.

Denne oppgaven skulle dreie seg om barns matematiske hverdagskunnskaper. Det var vanskelig å få L til å fortelle om bruken av disse kunnskapene. Det blir litt som å spørre en fugl om hva den bruker akkurat den delen av luften til. Hverdagskunnskapene er en helhet der matematikken ikke har et adskilt rom.

Avslutningsvis vil jeg si, at selv om det er lenge til det blir sant, så gleder det meg at L nå går rundt og er kjempestolt over å "ha blitt undersøkt av en lærer"!