Denne rapporten var opprinnelig laget som en prosjektoppgave
i kursene M2 og M3 ved HVE avd. for lærerutdanning 1997/98.
Rapporten er skrevet av Magne Eilertsen og Stein Solø,
og er basert på en liten undersøkelse vi gjorde
under en praksisperiode (nov. 97) der vi hadde tilgang på
tre 10. klasser.
For å forstå og få maksimalt utbytte av denne
rapporten bør du løse oppgavesettet
før du ser på analysedelen.
Jeg, altså Stein Solø, vil tilføye at jeg
før jul -99 holdt terminprøve i to 9. klasser.
Der brukte jeg bl. a. en oppgave som var praktisk talt identisk
med denne rapportens oppgave 2 . Med unntak av fire åpenbare
regnefeil hadde samtlige elever "gått i fella":
Av 40 elever kom 36 fram til det samme gale svaret, og alle
som viste noen utregning hadde fulgt den strategien som i denne
rapportens analysedel kalles "regnestykke ut fra netto pr. tidsenhet".
Jeg tror vi som underviser matematikk har en jobb å gjøre:
Hvordan skal vi få elevene til å forstå at
de må bruke sin sunne fornuft, også i mattetimene?
1. Innledning Tidlig i dette skoleåret
hadde vi en forelesning i M2-kurset om problemløsning.
Forelesningen handlet bl.a. om hvordan amerikaneren Frank Lester
har forsket på problemløsning blant skoleelever,
og ut i fra denne undersøkelsen har han utviklet et forslag
til grunnleggende prinsipper om undervisning i problemløsning.
Dette emnet vakte vår interesse, og vi bestemte oss for
å kombinere prosjektene i M2 og M3 om temaet problemløsning.
Problemstillingen vår bør være aktuell og
tilfredstille kravene for begge kursene, og vi mener at den
er faglig relevant i forhold til den nye læreplanen (se
nedenfor - problemløsning og L97).
På den ene side er vi interesserte
i å få noen ideer til hvordan vi bør undervise.
Det forutsetter at vi vet hva vi ideelt sett vil med undervisningen
vår. Og det vi er enige om i prosjektgruppa er at vi ønsker
at våre fremtidige elever skal vite hvilke verktøy
de skal bruke for å løse matematiske problemer
og når de skal bruke dem. Vi ønsker også
at våre elever skal kunne ha nytte av redskapene for matematisk
problemløsning utenfor skolen. Et mål for
prosjektet er derfor å få noen ideer til hvordan
vi skal undervise, slik at vi kan oppnå dette. Hvilke
undervisningsprinsipper bør man følge for å
kunne nå slike målsetsetninger? Må man f.eks.
undervise etter den induktiveeller
den deduktivelæringsmetoden?
Eller bør man bruke begge læringsmetodene, muligens
finne en viss balanse i undervisningen mellom metodene? Hvilken
betydning har oppgavevalg, organisering av elevene og grad av
selvstendighet i arbeidet?
I L-97 er det bestemt at det skal være et bestemt forhold
mellom "tradisjonell" undervisning og problemorientert
undervisning. En viss prosent av undervisningen skal brukes
til tema- og prosjektarbeid. Mengden av tema- og prosjektarbeid
er størst i småskoletrinnet og deretter avtar andelen
jevnt mot 10. klasse.
På den andre side hadde vi som utgangspunkt at undervisningserfaringen
vår er heller liten. Hvordan skulle vi så ta fatt
på denne oppgaven? Et alternativ var å søke
i annen forsking og gjøre rede for kunnskapen som er
gjort på dette området. Argumentet mot dette alternativet
er at det ville ha vært lite nyskapende, og det heller
ikke ville ha hjulpet oss med vår begrensede undervisningserfaring.
Et annet alternativ var å gjøre et feltarbeid,
som kombinert med søking i annen forsking kunne gi oss
svar på hvordan vi vil undervise i problemløsning.
Ved å velge dette alternativet kunne vi skaffe oss egen
erfaring fra praksis, samtidig som at vi ikke behøvde
å finne opp kruttet på nytt, fordi vi samtidig søker
etter de svarene som allerede finnes i aktuell forsking. Derfor
bestemte vi oss for dette alternativet.
Vi valgte å begrense søkingen i annen forsking
til det vi har funnet i pensumlitteraturen. I Per Even Melbyes'
"Matematikkvansker" fant vi et kapittel som er aktuelt
for prosjektet vårt. Den forelesningen vi har hatt om
problemløsing i M2-kurset baserer seg på Melbyes'
bok. Søkingen i pensumlitteraturen var en vei for å
skaffe oss kunnskap om problemløsning og undervisning
i problemløsning, og et godt utgangspunkt for å
gå i gang med undersøkelsen vår. I oppgavedelen
"Om emnet problemløsning i pensumlitteraturen"
høster vi altså fruktene av andres arbeid, og det
ligger ingen nyskapning i denne delen.
Vi ville gjøre en eller annen form for feltarbeid, for
å få litt praktisk erfaring om problemløsing
i undervisning og om hvordan en underviser i problemløsing.
Med en praksisperiode foran oss i november 1997 hadde vi noen
rammer å forholde oss til. Vi visste for det første
at vi begge skulle inn i en eller flere 10.klasser. For det
andre måtte vi ta hensyn til betingelsene for M2- og M3-prosjektet.
For det tredje måtte vi ta hensyn til øvingslærernes
planer. Opplegget vi skulle bringe med oss til praksisperioden,
måtte ikke ha for stort omfang.
Vi fant ut at en praktisk løsning ville være å
lage et oppgavesett, som vi kunne be elevene i de klassene vi
skulle til i praksisperioden om å løse. Med tillatelse
fra øvingslærer var hensikten (selv om skjemaet
sprakk litt) å legge beslag på to matematikktimer
i løpet av praksisperioden. Den ene timen skulle gå
med til å forklare elevene hva de skulle gjøre,
og eksemplifisere med et par oppgaver. I løpet av den
første timen skulle elevene starte på oppgavene,
og det som da gjensto av arbeid skulle de gjøre ferdig
hjemme. I den andre timen skulle vi gjennomgå oppgavene,
og gi kommentarer til arbeidsinnsatsen. Vi var litt usikre på
elevenes motivsjon for å arbeide med disse oppgavene og
hvordan vi skulle løse dette med kommentardelen. Poenget
med feltarbeidet var jo nettopp at vi skulle beholde elevenes
innleveringer, slik at vi kunne analysere dem senere. Skulle
vi gi elevene karakter, og hvordan passet dette inn i øvingslærerens
opplegg? Skulle vi spørre elevene om lov til å
beholde innleveringene, eller skulle vi ta kopier og gi innleveringene
tilbake til elevene? Ville elevene være interessert i
å løse oppgavene uten å få karakterer
og uten eventuelt å få innleveringene tilbake? Vel,
vi løste det slik at vi etter forespørsel fikk
beholde elevenes innleveringer. Elevene fikk ikke karakterer,
men de fikk muntlige og skriftelige kommentarer til det de hadde
gjort. I en av klassene oppsummerte vi også arbeidet,
der elevene kom med forslag til en meget enkel oversikt over
metoder som kan brukes til å løse matematiske problemer.
Tanken vår var at denne undersøkelsen skulle være
et instrument til å få svar på en rekke spørsmål,
og å erfare problemløsing i undervisning, slik
at vi kunne utvikle noen didaktiske ideer til egen undervisning.
Vi ville ta et "snapshot" av elevers strategier for
behandling og løsing av matematiske problemer i to eller
flere klasser på forskjellige skoler.
De tallmaterialene vi legger til grunn for analysedelen er ikke
å regne som en stor nok kilde til å trekke noen
konklusjoner eller å generalisere med noen stor sikkerhet,
men det kan gi oss en pekepinn om mulige sammenhenger.
Etter at elevene leverte inn oppgavesettene startet en fase
med analysering av elevenes arbeid. Vi hadde på forhånd
ingen spesielle forventninger til resultatene av analyseringen.
Disse spørsmålene var vi interessert i å
få svar på:
Hvilke strategier for matematisk problemløsing bruker
elever på samme alder? Hvilke strategier er gode (fører
ofte til riktige svar) og hvilke er mindre gode (fører
sjelden til riktig svar)? Er det samsvar mellom elevenes skriftelige
forklaringer og det de faktisk har gjort, eller er det ikke
det? Kan vi si noe om hvorfor de gode strategiene ofte fører
til riktig svar og omvendt? Er det ut i fra de resultatene vi
analyserer mulig å danne seg et grovt bilde av hvilke
strategier vi ønsker at våre egne elever skal utvikle?
Er det noen tydelige likheter eller ulikheter i strategiene
hos elever ved forskjellige skoler?
Primært ønsket vi å få et innblikk
i hvilke strategier elever bruker for å løse matematiske
problemer, sekundært ønsket vi å se etter
forskjeller i strategier og valg av strategier hos elever i
to eller flere klasser på forskjellige skoler, slik at
vi kunne få noen ideer til egen undervisning. Alt i alt
kokte det seg ned til denne problemstillingen:
Hvilke strategier for matematisk problemløsing bruker
elever på samme alder, som har ulike lærere med
ulike undervisningsmetoder? Hvilke didaktiske ideer peker dette
ut for oss som fremtidige matematikklærere?
Oppgavesettet besto av 4 oppgaver og nødvendige
ark for besvarelser. Elevene skulle jobbe individuelt med oppgaven,
fordi vi ville undersøke hver enkelte elevs strategier
for problemløsing. Av de fire oppgavene skulle elevene
løse tre, og i tillegg gi en skriftelig forklaring til
hvordan de tenkte da de løste oppgaven.
Oppgavene er valgt ut fra visse kriterier. P.g.a. at vi har
valgt å slå i sammen prosjektene i M2 og M3 bestemte
vi oss for å velge ut oppgavene slik at oppgave 3 og 4
passer inn under betingelsene for M3-prosjektet, mens oppgave
1 og 2 skulle tilfredstille betingelsene for M2-prosjektet.
Oppgavene har vi lånt fra kursene i M2 og M3.
De fire oppgavene består av tre såkalte "grubliser"(oppgave
1,2 og 3) og en "normal" oppgave (oppgave 4). Grublisene
kan løses med ulike løsningsmetoder, der det er
opp til eleven å finne ut hvordan han/hun vil løse
dem. I den "normale" oppgaven har vi laget en historie
rundt formelen for volumet av en sylinder. Vi valgte å
ta med denne oppgaven, for å se om elever forstår
når de skal bruke formler de lærer i skolen. Elevene
lærer en mendge formler i skolen, men er de like bevisst
på når de skal bruke dem, og klarer de å oppdage
hvilken formel de skal bruke når de møter en kjent
problemstilling i en ukjent ramme? Dette kan jamføres
med et av målene i L97 (se nedenfor). Elevene bør
bli bevisste på hvilken nytte de har av redskapene for
problemløsning.
Oppgavene kan også deles inn i to andre kategorier. Når
en har fått et svar på oppgave 1 og 3, går
det an å kontrollere om svaret er riktig. Puslespillet
i oppgave 3 må være kvadratisk, for at svaret skal
være rett! Og når en har fått et svar på
oppgave 1, f.eks. 9 høns og 9 griser, så kan man
enkelt regne seg frem til om dette svaret stemmer. Dette lar
seg ikke gjøre for oppgave 2 (og 4). Her ligger det kritiske
i hvilken strategi man velger, og man kan ikke like enkelt kontrollere
om svaret man får er rett eller galt. Det interessante
blir da å se om det blir flere riktige svar på oppgave
1 og 3, enn på oppgave 2 og 4, når de har muligheten
til å kontrollere svarene sine for oppgave 1 og 3. Hvis
det blir omtrent like mange gale svar på oppgave 1 og
3 som på 2 og 4, kan vi da si at elevene ikke har vært
flinke nok til å kontrollere svaret, eller at de ikke
har klart å vurdere om svaret er sannsynlig? Hvor aktuell er
vår oppgave i forhold til intensjonene i den nye læreplanen,
L97? Under Felles mål for matematikkfaget finner
vi bl.a. disse punktene:
at elevene stimuleres til å bruke sin fantasi, sine
ressurser og sine kunnskaper til å finne løsningsmetoder
og -alternativer gjennom undersøkende og problemløsende
aktivitet og bevisste valg av verktøy og redskaper.
at elevene utvikler et positivt forhold til matematikk,
opplever faget som meningsfylt og bygger opp selvfølelse
og tillit til egne muligheter i faget.
at matematikk blir et redskap elevene kan ha nytte
av på skolen, i fritiden og i arbeids- og samfunnsliv.
Av de målene vi har plukket ut av L97, kan vi se at målene
i læreplanen er meget like de målsetningene vi nevnte
for vår undervisning. Intensjonene er at elevene skal
utvikle egne verktøy for problemløsning, og at
de skal kunne ta bevisste valg av hvilke verktøy de vil
bruke til ulike problemer. Målet er også at elevene
utvikler selvtillit og et bevisst forhold til sine ferdigheter
i faget, og de peker på at elevene skal ha nytte av de
verktøyene de utvikler både utenfor og i skolen.
Det ser altså ut til at våre målsetninger
er relevante i forholdt til målsetningene i læreplanen.
Og det var jo betryggende!
Vi tar en titt på den første av de tre målsetningene
vi har plukket ut. Forfatterne har valgt å bruke ordformuleringer
som "stimuleres", "til å finne"
og "gjennom undersøkende og problemløsende
aktivitet". Hva betyr så disse formuleringene?
Slik vi kan tolke "stimuleres", betyr det at
læreren skal ha en veiledende rolle. "til å
finne" og "gjennom undersøkende og problemløsende
aktivitet" At elevene bør jobbe aktivt med å
utvikle og forske på ulike løsningsmetoder, og
at de skal finne ut av hvilke problemtyper som kan løses
med de verktøyene de utvikler. Denne målsetningen
beskriver med andre ord at elevene i forhold til L97 skal jobbe
etter prinsippene i den induktive læringsmetoden.
Mellom "Innledning" og "Oppsummering og konklusjon"
er oppgaven delt inn i "Om emnet problemløsning
i pensumlitteraturen" og "Analyse av undersøkelse".
I "Om emnet problemløsning i pensumlitteraturen"
har vi nettopp lett etter hva vi kunne finne om emnet vårt
i pensumlitteraturen og forelesningsnotatene våre. I "Analyse
av undersøkelse" kan du finne resultatene av undersøkelsen
i form av tabeller og en analyse av tabellene. Deretter følger
en oppsummering av analysen og de didaktiske ideene vi kan konkludere
med i "Oppsummering og konklusjon".
2.
Om emnet problemløsning i pensumlitteraturen Problemløsning
kan enten være et begrep for en arbeidsmåte/metode
som kan brukes i flere fag, eller som et hovedemne i matematikk.
Problemløsning som arbeidsmetode er er kjent fra den
amerikanske reformpedagogikken, med Dewey i spissen, som jobbet
med hvordan skolen skulle bli en del av barnet "naturlige
hverdag". Gjennom dette arbeidet utviklet Dewey sin problemløsningsmetode
i fem trinn (første trinn er å registrere eller
føle problemet, andre trinn er å analysere problemet,
tredje trinn er å finne mulige måter å løse
problemet på, fjerde trinn er å bestemme seg for
en metode og femte trinn er å avgjøre om metoden
fungerer eller ikke), og senere utviklet Kilpatrick problemløsningsmetoden
videre ved å organisere læringen rundt prosjekter.
Problemløsning som hovedemne innenfor matematikkfaget
kan defineres som en oppgave som man stilles ovenfor og ikke
kjenner noen prosedyre for å løse. Skolen har en
viktig oppgave i å lære elevene å møte
nye situasjoner med aktivitet i stedet for passivitet. Elevene
må få strategier, trening og selvtillit til å
ta seg fram på egenhånd. Oppfinnsomhet, eksperimentering
og diskusjon med andre elever kan være sentrale løsningsstrategier.
Problemløsning er like mye å finne rett strategi
som å løse oppgaven. Forskere ved navn Keranto og Freudenthal
mener at matematikkfaget for ofte handler om å tilegne
seg figurative kunnskaper (rutineferdigheter
som tabellkunnskap, hoderegning, overslagsregning, algoritmeregning,
regning med lommeregner ...). Resultatet er at faget ikke blir
en del av elevenes hverdag, og at det derfor oppfattes som kjedelig.
De mener at faget heller bør dreie seg om at elevene
skal tilegne seg operative kunnskaper.
Elevene må ha figurative kunnskaper for å lære
operative kunnskaper, og omvendt at læring av operative
kunnskaper skal skape et behov for å lære mer figurativ
kunnskap.
Flere av de som forsker på matematisk problemløsning
hører til vygotskyskolen. De mener at språket er
viktig for utvikling av tanken. Tanken og forståelsen
bygger på språklige mellommenneskelige forhold.
Forståelsen utvikles fra språklig aktivitet til
indre tankevirksomhet. Dette betyr at elever bør snakke
mye og diskutere løsninger på matematiske problemer,
for å bli bedre til løse problemer. Dessuten vil
språklig engasjement og aktivitet sannsynligvis øke
motivasjonen for faget.
Keranto m.fl. har også undersøkt effekten av problemorientert
undervisning i matematikk kontra tradisjonell undervisning.
Med andre ord sammenlignet de den induktive og den deduktive
læringsmetoden. Kort- og langtidsvirkningene hellet svakt
til fordel for problemløsningsmetoden, mens elevenes
motivasjon for faget økte betraktelig med problemløsningsmetoden.
Keranto nevner at forhold som at elevene er vant med en tradisjonell
undervisningsform, tradisjonell skoletid og lærere som
er uvant med denne undervisningsformen kan være årsaker
til at resultatene ikke var mer utslagsgivende, og han konkluderer
med at det må utføres flere undersøkelser.
Forskeren Burton mener at det kreves en del av skolen, for å
bruke problemløsning som arbeidsmetode i matematikkundervisningen.
Læreren må tenke på hvordan klasserommet skal
organiseres. Skal elevene jobbe to og to, i grupper eller hele
klassen samlet? Det avhenger av problemet som skal løses.
Lærerens oppgave varierer fra det å tilrettelegge
materiell, innhente grunnleggende informasjoner, være
inspirator til å hjelpe på prosessen ved å
formulere igangsettende spørsmål. Læreren
må være bevisst på sin rolle i et slikt opplegg,
slik at eleven er mest mulig aktiv og løser problemet
så selvstendig som mulig.
Det er viktig å utvikle faste rutiner ved problemløsning.
Arbeidsformen må ikke utarte seg til lek og avslapping,
og det er derfor nødvendig å lære elevene
strategier for problemløsning. De må lære
seg å stille nødvendige og problemløsende
spørsmål for å komme videre med arbeidet.
Problemløsing er ingen lineær prosess, med en dynamisk
prosess, d.v.s. at det etter å ha stilt spørsmål
med et utgangspunkt i et problem som vi finner løsningen
på, oppstår nye problemer, og nye spørsmål
formuleres.
Polya har utviklet en denne framgangsmåten for problemløsning,
som til forveksling kan ligne på Deweys problemløsningsmetode:
Eleven må forstå problemet:
Man må erkjenne at det faktisk foreligger et problem,
og så må det analyseres. Kan jeg løse
problemet? Forstår jeg teksten og kjenner jeg til
de symbolene som brukes?
Og så må eleven velge å forholde seg til
problemet eller ikke.
Eleven må legge en plan:
Man må velge strategi. Er det noen sider av problemet
som er kjent fra før av? Kan jeg omformulere problemet?
Hvilke alternativer (konkretiseringsmateriell, hjelpefigur,
løse et enklere og lignede problem først,
tabell, gjette og sjekke, uoppstilt ligning ...) har jeg?
Gjennomføring av planen:
Det er viktig å kontrollere det man gjør underveis.
Å se tilbake:
Arbeidet er nå utført, og da må man vurdere
løsningsmåten. Var løsningen god, kan
jeg være fornøyd med resultatet? Virker svaret
sannsynlig?
3.
Analyse Vi fikk i alt tilbake
50 besvarelser av 75 utdelte oppgavesett i tre klasser. Vi velger
her å kalle klassene for A, B og C. Klassene A og B er
parallelle 10. klasser med samme lærere ved samme skole,
mens klasse C er en 10. klasse ved en annen skole. Det var påfallende
få besvarelser fra den klassen som i tabellene er merket
B. Klassens lærere mente klassen var generelt svak i matematikk.
Denne vurderingen støttes av observasjoner i praksisperioden.
Dessverre er det ikke mulig å sammenholde dette med antall
besvarelser, da klassen var preget av et uvanlig stort sykefravær
i perioden undersøkelsen ble utført. Dette medførte
at noen elever fikk oppgavesettene senere enn andre, samt at
noen ikke leverte sine besvarelser før oppgavene var
gjennomgått med elevene. Disse siste er ikke tatt med
i undersøkelsen, men betraktes som ikke besvarte.
Vi har analysert besvarelsene for å finne hvilke strategier
elevene har valgt for å løse oppgavene. Vi har
talt med besvarelser der strategien er åpenbar, selv om
den ikke er forklart. Vi har sett på effektiviteten av
den enkelte strategi, i den forstand å komme frem til
rett svar. Slik vår undersøkelse er utført,
kan vi ikke direkte vurdere strategienes effektivitet i forhold
til tidsbruk eller arbeidsbyrde. Videre har vi sett på
forklaringene til løsningene, og samsvaret mellom strategi
og forklaring. Det å vurdere hvor klar en forklaring er,
er et spørsmål om skjønn. Det er tydelig
at elevene ikke er vant til å skulle forklare hva de har
gjort og hvorfor, i hvert fall ikke skriftlig. I vår vurdering
av elevenes forklaringer har vi derfor utvist stor forståelse
for elevenes manglende erfaring med dette.
Vi må påpeke at tallmaterialet vi opererer med er
for lite til å gi grunnlag for særlig bastante påstander
eller konklusjoner. Likevel bør det være tilstrekkelig
til å gi en pekepinn om mulige sammenhenger.
Data fra besvarelsene er ordnet i tre tabeller. Tabell
1 viser en oppstilling av identifiserbare strategier og
effektiviteten av disse, fordelt på klasser, og samlet.
Tabell 2 viser fordelingen av samtlige besvarelser
på strategier, graden av klarhet i forklaringene, og graden
av samsvar mellom strategi og forklaring. Tabell
3 gir oversikt over den enkelte besvarelse, med rette og
gale svar fordelt på oppgavene. Den gir også oversikt
over svarprosent for oppgavene, både for hver klasse og
samlet.
For hver oppgave vil vi se på hvilke strategier som er
valgt, om noen strategier peker seg ut som spesielt vellykkede,
om det er strategier som skiller seg ut ved å føre
til gjengangerfeil, og om det er påviselige forskjeller
mellom klassene
Elevenes
valg av oppgaver Elevene ble bedt
om å besvare tre av de fire oppgavene. Nesten alle elevene
som leverte besvarelser har svart på de to første
oppgavene. 4 av 5 elever har svart på oppgave 3, mens
bare knapt 1 av 5 har svart på oppgave 4. To mulige forklaringer
på dette peker seg ut. Den ene er at elevene har startet
med den første oppgaven, og så tatt dem i tur og
orden. Etter ni år på skolen har de antagelig funnet
ut at det er en vanlig måte å gjøre ting
på. Den andre muligheten er at elevene har kjent igjen
den siste oppgaven som en tilnærmet normal øvingsoppgave,
som standard skolematematikk, og ingen grublis. Oppgaven kan
dermed ha blitt oppfattet som kjedelig. Flere elever har da
også kommentert at denne siste oppgaven ikke er noen grublis.
En av disse elevene har for øvrig levert en besvarelse
der alle fire oppgavene er korrekt løst.
For klasse B kan det nevnes at denne klassen har en jevnere
fordeling mellom de to siste oppgavene enn hva som gjelder for
de to andre klassene. Etter muntlige kommentarer i klassen å
dømme, har flere elever funnet oppgave 3 uløselig,
og de har derfor gjort oppgave 4 i stedet.
Oppgave
1 Oppgaven
krever at eleven tar hensyn til 4 opplysninger; to implisitte
og to eksplisitte. De implisitte opplysningene ligger i at eleven
må innse at hver gris har fire bein og at hver høne
har to, hvilket medfører at "det går to høner
på hver gris". Dette må kombineres med eksplisitte
opplysninger om det totale antall dyr og det totale antall bein.
Denne oppgaven hører til en kategori problemer der det
er om å gjøre å finne det unike tilfellet
der en rekke betingelser er oppfylt. Slike oppgaver kan løses
på mange ulike måter, og på forskjellig nivå.
Det kan forventes mange riktige svar, fordi det er mulig å
sette svaret tilbake i oppgaven, og slik se om det stemmer.
De aller fleste svar var riktige. De fleste forklaringer inneholder
et element av logisk resonnement om bein pr. dyr og om hvilket
utgangspunkt som er best for raskt å finne en løsning.
Løsningsstrategier
Prøve og feile: Dette er den vanligste metoden.
Den består i at eleven starter med å finne et
egnet utgangspunkt. Dette kan være ren gjetning, men
er oftest basert på at det enten er like mange dyr
av hvert slag, eller at halvparten av beina er grisebein
og halvparten hønsebein. Deretter regner eleven ut
hva antagelsen medfører, og kan korrigere i riktig
retning.
Tegne figur og fordele bein: Dette er en grafisk løsning
med små krav til ferdigheter i tallbehandling. Eleven
tegner opp de 18 dyrekroppene, og utstyrer samtlige med
to bein. Overskytende ben fordeles to til hver til det er
tomt: Tell opp, voila. Det finnes også en bakvendt
versjon av denne strategien. Bena tegnes opp, og
ringes inn to og to. Deretter samles to og to ringer for
å komme ned i rett antall dyr. I disse tilfellene
finnes derfor et element av enten gjetting eller logikk.
Tabell: Eleven setter opp en systematisk tabell over hvor
mange dyr forskjellige fordelinger av de 52 beina medfører.
Logikk: To elever har brukt følgende logiske resonnement:
Dyrene har to eller fire bein. Hvis alle 18 dyr har to bein,
så blir det 36 bein, altså 16 for lite. Mankoen
utgjør 8 par bein, altså må 8 av dyrene
være griser, og dermed 10 høns.
Likninger med to ukjente: Elevene hadde ennå ikke
lært dette, men en elev løste oppgaven på
denne måten. En annen identifiserte dette som nytt
og ukjent lærestoff, og valgte derfor en annen strategi.
Kombinasjoner: Noen elever kombinerte grafisk løsning
med gjetting. Med dette menes at det grafiske innslaget
var mer enn en arbeidstegning og mindre enn en full løsning.
Vellykkede strategier Siden det for denne oppgavens vedkommende var lett for elevene
å kontrollere om svaret de hadde funnet var riktig, har
tilsynelatende alle strategier vært vellykkede. Det som
kan diskuteres er om alle disse metodene er like gode eller
formålstjenlige. Graden av anvendt matematisk eller logisk
finesse er svært varierende.
Standardfeil Enkelte elever glemmer, eller overser, at de 52 bena skal
fordeles på et oppgitt antall dyr, og svarer i retning
av at "det kan være 6 griser og 14 høns".
Forskjeller mellom skoler og klasser Vi har ikke funnet betydelige forskjeller mellom de tre
klassene på denne oppgaven.
Oppgave
2 Denne oppgaven
har en helt annen struktur enn den første. Den kan løses
på flere måter, men i alle tilfeller må eleven
forstå at det må gjøres noe spesielt på
slutten av løsningsprosedyren for å få et
riktig svar. Dette er åpenbart ikke så lett å
innse, vi fikk inn tilnærmet like mange gale som riktige
svar.
Her er det om å gjøre å forstå systemet
hele veien. I motsetning til den første oppgaven er det
her ikke mulig å sammenholde svaret med betingelsene,
og slik se om svaret er rett. Her kan man bare kontrollere det
man har gjort på et elementært nivå. Vanskeligheten
ligger i at det hjelper lite å kontrollere tallene, hvis
det er logikken i strategien som svikter.
Løsningsstrategier
Regnestykke ut fra netto pr. tre min.: Den nest vanligste
strategien gikk ut på se oppgaven som et regnestykke.
Eleven regner først ut billens netto progresjon etter
en klatring og en pause, altså (3cm-1cm=) 2cm på
(2 min+1min=) 3 min. Deretter deles avstanden 15cm på
netto progresjon, hvilket gir 7,5, som så ganges med
3 min. Svaret blir dermed 22,5 minutter, og eleven sitter
i saksa. Kun en av elevene som valgte denne strategien forsto
at den førte galt hen, og korrigerte strategien.
Grafisk løsning på en akse: Dette var den
vanligste strategien. Eleven tegner en akse, og markerer
avstand langs denne. Deretter tegnes billens bevegelser
inn med streker, buer el.l., mens minuttene noteres og summeres
etterpå, eller summeres i hodet underveis.
Grafisk løsning på to akser: Eleven tegner
et to-akset koordinatsystem, med avstand og tid på
hver sin akse, og plotter inn billens bevegelser.
Sette opp tabell: Dette minner om den en-aksede grafiske
metoden. Den går ut på å sette opp tall
i to kolonner, tid i den ene, avstand i den andre.
Kombinasjon av flere strategier: En elev valgte en kombinasjon
av regnestykke og tabell.
Vellykkede strategier Grafisk løsning på to akser ser ut til å
være en god strategi, men vi har for få svar til
å utbasunere noe som helst. Fordelen med denne strategien
er at den gir svært god oversikt. Eleven slipper å
håndtere flere faktorer parallelt i hodet, fordi all relevant
informasjon er representert på papiret. Dessuten er det
lett å se når billen har kommet til toppen, slutten
gir seg selv. Brudd i logikken unngås.
Grafisk løsning på en akse fungerer også
brukbart, fordi det er lett å se når billen har
kommet til toppen. Eleven unngår dermed det som lett blir
en felle i en tallbasert strategi. De gale svarene spriker på
en måte som tyder på at det kan være vanskelig
å holde orden på de to separate opptellingene, uten
å ha begge entydig representert.
Standardfeil Kun en av de 13 elevene som valgte å løse oppgaven
gjennom å sette opp et regnestykke forsto at svaret ble
galt, og korrigerte strategien. Elevene fulgte slavisk et mønster
av tallbehandling, uten å se at siste del av oppgaven
medførte et brudd på mønsteret. Når
billen etter 18 min har gått seks runder, er den 3cm under
kanten. To minutter senere befinner den seg på kanten,
og er altså ute. Varianter, som at billen da er sliten
og må hvile ett min på kanten, eller sklir 1cm ned
og derfor er ute etter 21min 40sek ble av et stort flertall
elever regnet som gale.
Grafisk løsning på en akse kan være vanskelig
å holde orden på, fordi bare en av opptellingene
er klart fremstilt på papiret. Eleven må arbeide
svært systematisk, eller svært konsentrert for ikke
å gå surr i tellingen.
Forskjeller mellom skoler og klasser Klasse B leverte uforholdsmessig mange gale svar, 8 av 10.
Alle svarene var etter strategiene regnestykke eller en-akset
grafisk løsning. Klasse A havnet midt på. Klasse
C skilte seg ut med mange rette svar. Klassen foretrakk grafiske
løsninger, to-akset grafisk løsning forekom kun
i denne klassen.
Oppgave
3 Denne oppgaven
er rett og slett et puslespill, og det er ikke av de letteste!
Her kreves fremfor alt tålmodighet og systematisk grubling.
Dette er, i likhet med den første, en oppgave hvor det
er lett å vite om man har funnet riktig løsning,
men å komme dit er ikke banalt. Oppgaven kan gjøres
lettere ved å regne ut arealet av bitene, og slik finne
sidelengden i kvadratet. Dette gir en ramme å pusle innenfor,
og gir hint om at sidene i kvadratet ikke kan følge langs
linjene i det påtrykte rutemønsteret. Dessuten
kan rutemønsteret i seg selv lede noen til å tenke
areal. På den annen side kan rutemønsteret vekke
ideer om hvordan rutemønstre pleier å oppføre
seg i (skole)matematikken, og således villede elevene
til å forutsette at det ikke kan eller skal vris.
Flere elever har kommentert at de har fått hjelp med denne
oppgaven, skjønt hjelpen ikke alltid førte frem...
Løsningsstrategier
Prøve og feile: Hva skal man si? Eleven pusler
og pusler inntil tilfeldigheter og hjernens mønstergjenkjenningsalgoritmer
finner løsningen.
Finne sidelengde vha. arealberegning: Eleven regner ut
arealet av bitene, tar kvadratroten av dette, og får
sidelengden i kvadratet. Dette gir rammen for kvadratet,
som bitene skal passe innenfor.
Fornekt virkeligheten: Dette er en interessant variant:
Hvis man ikke kan løse oppgaven slik som den er gitt,
så forandrer man enten målet, eller de gitte
betingelsene. Dette resulterer selvsagt ikke i den løsningen
som er "fasit", men kan vel sies å tyde
på en kreativ innstilling, og vilje til ikke å
bare gi opp. Det er fristende å kalle denne strategien
"Askepotts stesøster": Hvis skoen ikke
passer, spikk til foten!
Vellykkede strategier En av elevene kommenterte at oppgaven ble lettere hvis man
snudde bitene for å unngå det misvisende rutemønsteret.
Standardfeil Dersom frustrasjonsnivået blir høyt nok, er
det tydeligvis noen som foretrekker å redigere en ubehagelig
virkelighet. En elev "redigerte" størrelse
og form på bitene for å få det til å
passe. To elever konkluderte med at det var en bit for mye,
uansett hva oppgaven sa, og festet den "overflødige"
biten oppå resten av puslespillet...
Forskjeller mellom skoler og klasser Påfallende mange elever i klasse C har ikke levert
noen forklaring på sin tankegang. Det var høy feilprosent
og få besvarelser fra klasse B.
Oppgave
4 Som enkelte av elevene
ganske riktig bemerket, er denne oppgaven
slett ikke noen grublis. Det er en ganske vanlig geometrisk
oppgave rundt formelen for volum av sylinder, lett forkledd
i en tekst. Oppgaven består i å se hvilken formel
som kommer til anvendelse, manipulere formelen, sette inn tall,
og regne ut.
I likhet med den andre oppgaven er det vanskelig å se
om det svaret man har kommet til er riktig, såfremt det
er av riktig størrelsesorden.
Løsningsstrategier
Sett inn i formel: Man tager,
enten fra sitt hode, eller fra læreboka, formelen
for volum av en sylinder: v=pr²h.
Dette omformes til , så setter man inn tall og regner
ut.
Vellykkede strategier Hvis man forstår hvilken formel som kommer til anvendelse,
og husker den, så ser det ut til å gå bra...
Standardfeil Dette er en oppgave som forutsetter at man enten husker
eller slår opp formelen for volum av en sylinder. De to
elevene som kom til gale svar, husket formelen galt. I det ene
tilfellet ble formelen blandet med formel for volum av en kjegle.
Forskjeller mellom skoler og klasser Tallmaterialet er svært tynt, kun åtte besvarelser,
men: Ingen av de tre i klasse C som svarte på denne oppgaven
ga noen forklaring. Det var forholdsvis mange besvarelser fra
klasse B. Begge de gale besvarelsene kom fra klasse B.
Oppsummering Vi har i denne oppgaven
studert strategier for problemløsning i tre 10. klasser.
Forskjellige strategier er samlet inn ved hjelp av et oppgavesett,
der elevene selv har beskrevet hvordan de har tenkt for å
løse oppgavene. Observasjoner gjennom en snau måned,
og 50 besvarte oppgavesett med inntil fire svar, gir med få
unntak et for begrenset materiale til at vi har bakgrunn for
mer enn å antyde tendenser.
Forskjeller og likheter Det er ikke vår hensikt med denne oppgaven å
vurdere eller sammenlikne skoler og undervisningsmetoder. Dertil
er vår teoretiske og praktiske kompetanse for liten, dessuten
er vår undersøkelse altfor begrenset i alle dimensjoner.
Noen generelle betraktninger kan likevel være av interesse.
Klassene A og B har vært undervist på tradisjonelt
vis. Klasse C har hatt en tilsvarende undervisning frem til
midten av 9. klasse. Deretter har denne klassen benyttet en
alternativ arbeidsform, som blant annet har medført at
elevene arbeider mer selvstendig, og i større grad har
lært seg å disponere tiden selv. Resultatene av
oppgave 2 kan gi et hint om at dette har gitt elevene
i klasse C større erfaring i å velge en god strategi
blant flere mulige.
Klassene A og C ble betegnet som generelt flinke klasser av
sine lærere. Vi merker oss at selv om disse klassene representerer
forskjellige skoler og forskjellige arbeidsformer, så
er resultatene fra disse klassene påfallende like. Videre
ser vi at det var målbar forskjell mellom klassene A og
B, som er parallelle klasser på samme skole, med samme
lærere og samme arbeidsform. Med et mulig unntak av oppgave
2, drukner altså eventuelle effekter av forskjell i arbeidsform
i den tilfeldige spredningen av evner og kunnskapsnivå
klasser i mellom.
Didaktiske
momenter Våre observasjoner
og undersøkelse antyder at klasse C kan ha hatt
utbytte av en mer selvstendig arbeidsform, men vi har altfor
spinkelt grunnlag til å kunne vurdere induktive læringsmåter
mot deduktive. Men, selv om vi har ikke bakgrunn for å
trekke konklusjoner om hvilke undervisningsmetoder som bør
velges, mener vi likevel å kunne si noe om hva undervisningen
bør inneholde, uansett valgt undervisningsmetode eller
arbeidsform.
Det kommer klart frem i vår undersøkelse
at elevene ikke er fortrolige med å forklare sine
strategier. Som det går frem av tabell 2 har mange
elever unnlatt å forklare sin strategi. Videre er
et betydelig antall forklaringer så uklare, at de
selv med godvilje må betegnes som vage. Selv blant
de forklaringene som er betegnet som klare, har et flertall
av elevene beskrevet hva de har gjort, ikke hva de
har tenkt. Vi mener det er viktig å bevisstgjøre
tankeprosessen som fører frem til valg av strategi
for å løse et matematisk problem. Dersom denne
prosessen ikke er bevisst, blir det lett til at en ukritisk
bruker den første strategien en finner. Dette er
ikke nødvendigvis den beste strategien.
Vi mener at elevene jevnlig bør møte problemløsningsoppgaver,
altså oppgaver der det ikke er innlysende hvilken
metode som må brukes for å komme til et svar.
Læreren bør gjøre et poeng av at øvingsoppgaver
også trener valg av verktøy, ikke bare øver
anvendelse av en spesifikk metode eller rutine, slik oppgaver
med oppstilt algoritme gjør.
For å bevisstgjøre tankeprosessen bak valg
av strategi i problemløsningsoppgavene bør
elevene forklare, gjerne skriftlig – og i ettertid
diskutere – hva de gjør og hvorfor.
Slike diskusjoner er for øvrig i tråd med Vygotsky;
muntlig aktivitet klargjør tanken.
Problemløsningsoppgaver burde kunne innpasses uansett
arbeidsform for øvrig, f.eks. som "Ukas nøtt"
eller innleveringsgrubliser.
Vi fikk inn langt flere gale svar på oppgave 2 enn
på oppgave 1. Dette betyr at elevene stort sett var
flinke til å kontrollere svaret der dette var mulig.
Resultatene fra oppgave 2 forteller oss at elevene i større
grad bør trenes i å løse problemer der
svaret ikke kan brukes til kontroll. I slike tilfeller er
det nyttig å finne flere mulige strategier, slik at
en kan velge den sikreste. Det er derfor viktig at elevene
utvikler en strategi i valg av strategi.
Resultatene fra oppgave 4 kan tyde på at formler
som bare pugges, ikke forstås, blir trylleformler.
Å bruke slik figurativ kunnskap oppfattes av elevene
som kjedelig. Figurativ kunnskap glemmes lett, og er vanskelig
å forklare.
Vi har i denne oppgaven beskjeftiget oss med elevers strategier
for matematisk problemløsning uavhengig av arbeidsform
for øvrig. Å beskrive konsekvensene av en undervisning
som i vesentlig grad baseres på problemløsning
vil raskt gå ut over grensene til denne oppgaven. L-97
legger heller ikke like stor vekt på problemløsning
som M-87 gjorde. Vi vil derfor i korte trekk nøye oss
med å peke på følgende:
Som Burton påpekte, krever slik undervisning mye
av både skole og lærer. F.eks. må læreren
være sin rolle som veileder og tilrettelegger svært
bevisst for ikke å overstyre elevene, mens skoledagens
organisasjon i økter på 45 minutter er lite
hensiktsmessig.
Læreren må fungere som en utrettelig motivator.
Men i følge Kerantos undersøkelse øker
elevenes motivasjon for faget.
Det er en lang og arbeidskrevende prosess å lære
elevene å lære.
Men problemløsning som metode er interessant i
forbindelse med tilpasset opplæring. Elevene vil uvilkårlig
arbeide på forskjellige nivåer, slik at individuelt
tilpasset opplæring og vurderingsformer nær
sagt følger med på kjøpet.
Tittel: Ungdomsskoleelevers strategier for matematisk
problemløsning
Problemstilling: Hvilke strategier for matematisk problemløsning
bruker elever på samme alder, men på forskjellige
skoler?
Beskrivelse av oppgavens innhold: Å ta et "snapshot"
av strategier for behandling og løsning av matematiske
problemer i to eller flere klasser på forskjellige skoler.
Metode: Skriftlig materiell samt observasjoner.
Bakgrunn for valg av oppgave: En viktig oppgave for oss
som fremtidige matematikklærere vil være å
ta fatt i elevenes strategier, og belyse dem slik at elevene
utvikler et tilstrekkelig arsenal av egnede metoder og verktøy
til selv å vurdere og løse matematiske problemer.
Dessuten vil denne oppgaven hjelpe oss i å utvikle metodiske
ideer.
Arbeidsplan: Materiell lages før / tidlig i praksisperioden.
Elevene løser oppgavene, materiell samles inn, og elevene
får tilbakemeldinger i løpet av praksis. Informasjon
systematiseres og analyseres etter praksisperioden.
Regn
ut 3 av de 4 oppgavene. Viktig, viktig: Husk å forklare
hvordan du tenkte da du løste oppgaven. Forklaringen
skal være med egne ord, og den skal være lang nok
(noen linjer) til at den er forståelig for andre enn deg
selv.
1.
Dyrene på gården.
På en gårdsplass trasker det noen griser og høns
rundt omkring, tilsammen er det 18 dyr. Gjennom en sprekk i
vinduslemmen i kjelleren kan lille Fredrik se at dyrene har
52 bein tilsammen, men han klarer ikke å se hva som er
hønsebein og hva som er grisebein. Kan du finne ut av
hvor mange griser og hvor mange høns det er på
gårdsplassen?
En bille er havnet på bunnen av et 15 cm høyt
syltetøyglass, og vil ut. På to minutter klatrer
den 3 cm oppover. Men da må den hvile i ett minutt, og
imens glir den 1 cm tilbake. Hvor lang tid bruker billa på
å klatre ut av glasset?
Klipp bitene på arket fra hverandre. Klarer du å
lage et kvadrat med alle bitene? Når du har funnet
løsningen kan du godt teipe bitene sammen/lime dem på
et ark, sånn at du ikke glemmer løsningen. Til analyse av oppgave 3
4. Mopedsylinderen.
Katrine skal kjøpe et nytt stempel til mopeden sin,
og da må
hun vite diameteren på stempelet. Men hun kan ikke finne
verktøysettet sitt, slik at hun kan få målt
diameteren nøyaktig.
Og i brosjyren står det bare at motorens slaglengde er
3.9 cm.
Nederst på sylinderen står det også et tall.
49 ccm (49 cm³ ).
Hvordan kan Katrine bruke disse opplysningene til å regne
ut diameteren til stempelet?
Figurativ kunnskap:
Læring av fakta som bare lagres i hukommelsessystemet
uten å
knyttes til noen kognitiv struktur. At blåbær er
blå trenger ingen
logisk forankring. Tilbake
Operativ kunnskap:
Logisk-materisk læring, kunnskap som er knyttet til generelle
skjema som har sitt utgangspunkt i handling overfor tingene
og ikke
i observert egneskaper ved dem. Det å kunne lage syltetøy
av
blåbærene er en operativ kunnskap. Tilbake
Induktiv læringsmetode:
Discovery learning, inquiry learning og problemløsnings-
metoden er eksempler på beslektede metoder.
Man abstraherer og generaliserer ut
i fra konkrete situasjoner og formulerer regler. Eksempel:
Emnet i naturfagtimen er metallenes egenskaper. Elevenes
oppgave er å gjøre noen forsøk med ulike
metaller, og beskrive
hvilke felles egenskaper metallene har. Tilbake
Dedukiv læringsmetode:
Reception learning. Man blir presentert for en regelen, og man
får en forklaring og eksempler. Gjennom arbeid med oppgaver
ser man at regelen stemmer. Eksempel: Emnet i naturfagtimen
er metallenes egenskaper. Læreren forklarer for elevene
hvilke
egenskaper metallene har felles og lager en regel. Deretter
gjør elevene forsøk med ulike metaller, for å
se om regelen
stemmer. Tilbake
