En verden av Stein

Om disse tekstene

Pedagogikk
Hypertekster
Lærerportrett
Evnerike barn
 
Matematikk
Matematisk
problemløsning

Samtaleoppgave
3,14?
Møbius
 
Naturfag
Virtuell
steinsamling

Vestfolds geologi
Økologisk jordbruk
Høyfjellsøkologi
 
KRL
JKKaSDH
(aka mormonerne)
 
IKT og ulikt
PC og personvern
PC og musikk-
undervisning

VW Caravelle og
topplokk
 
Personlig
CV   
Diktanalyse
Billedalbum
Konsertbilder
Ut å fly...
 

Andre sider:
 
En verden av Stein
Startside
Krone
Pineal
Hals
Hjerte
Solar Plexus
Hara
Rot
Linker
 
Steins
Elektronikkverksted
Startside
 
Ex Animo
Startside
 

 

Matematisk problemløsning i ungdomsskolen




Denne rapporten var opprinnelig laget som en prosjektoppgave i kursene M2 og M3 ved HVE avd. for lærerutdanning 1997/98. Rapporten er skrevet av Magne Eilertsen og Stein Solø, og er basert på en liten undersøkelse vi gjorde under en praksisperiode (nov. 97) der vi hadde tilgang på tre 10. klasser.

For å forstå og få maksimalt utbytte av denne rapporten bør du løse oppgavesettet før du ser på analysedelen.

Jeg, altså Stein Solø, vil tilføye at jeg før jul -99 holdt terminprøve i to 9. klasser. Der brukte jeg bl. a. en oppgave som var praktisk talt identisk med denne rapportens oppgave 2 . Med unntak av fire åpenbare regnefeil hadde samtlige elever "gått i fella": Av 40 elever kom 36 fram til det samme gale svaret, og alle som viste noen utregning hadde fulgt den strategien som i denne rapportens analysedel kalles "regnestykke ut fra netto pr. tidsenhet".

Jeg tror vi som underviser matematikk har en jobb å gjøre: Hvordan skal vi få elevene til å forstå at de må bruke sin sunne fornuft, også i mattetimene?



  1. Innledning

  2. Om emnet problemløsning i pensumlitteraturen

  3. Analyse


  4. Konklusjon
  5. Vedlegg


 1. Innledning
Tidlig i dette skoleåret hadde vi en forelesning i M2-kurset om problemløsning. Forelesningen handlet bl.a. om hvordan amerikaneren Frank Lester har forsket på problemløsning blant skoleelever, og ut i fra denne undersøkelsen har han utviklet et forslag til grunnleggende prinsipper om undervisning i problemløsning. Dette emnet vakte vår interesse, og vi bestemte oss for å kombinere prosjektene i M2 og M3 om temaet problemløsning. Problemstillingen vår bør være aktuell og tilfredstille kravene for begge kursene, og vi mener at den er faglig relevant i forhold til den nye læreplanen (se nedenfor - problemløsning og L97).

den ene side er vi interesserte i å få noen ideer til hvordan vi bør undervise. Det forutsetter at vi vet hva vi ideelt sett vil med undervisningen vår. Og det vi er enige om i prosjektgruppa er at vi ønsker at våre fremtidige elever skal vite hvilke verktøy de skal bruke for å løse matematiske problemer og når de skal bruke dem. Vi ønsker også at våre elever skal kunne ha nytte av redskapene for matematisk problemløsning utenfor skolen. Et mål for prosjektet er derfor å få noen ideer til hvordan vi skal undervise, slik at vi kan oppnå dette. Hvilke undervisningsprinsipper bør man følge for å kunne nå slike målsetsetninger? Må man f.eks. undervise etter den induktive eller den deduktive læringsmetoden? Eller bør man bruke begge læringsmetodene, muligens finne en viss balanse i undervisningen mellom metodene? Hvilken betydning har oppgavevalg, organisering av elevene og grad av selvstendighet i arbeidet?
I L-97 er det bestemt at det skal være et bestemt forhold mellom "tradisjonell" undervisning og problemorientert undervisning. En viss prosent av undervisningen skal brukes til tema- og prosjektarbeid. Mengden av tema- og prosjektarbeid er størst i småskoletrinnet og deretter avtar andelen jevnt mot 10. klasse.

På den andre side hadde vi som utgangspunkt at undervisningserfaringen vår er heller liten. Hvordan skulle vi så ta fatt på denne oppgaven? Et alternativ var å søke i annen forsking og gjøre rede for kunnskapen som er gjort på dette området. Argumentet mot dette alternativet er at det ville ha vært lite nyskapende, og det heller ikke ville ha hjulpet oss med vår begrensede undervisningserfaring. Et annet alternativ var å gjøre et feltarbeid, som kombinert med søking i annen forsking kunne gi oss svar på hvordan vi vil undervise i problemløsning. Ved å velge dette alternativet kunne vi skaffe oss egen erfaring fra praksis, samtidig som at vi ikke behøvde å finne opp kruttet på nytt, fordi vi samtidig søker etter de svarene som allerede finnes i aktuell forsking. Derfor bestemte vi oss for dette alternativet.

Vi valgte å begrense søkingen i annen forsking til det vi har funnet i pensumlitteraturen. I Per Even Melbyes' "Matematikkvansker" fant vi et kapittel som er aktuelt for prosjektet vårt. Den forelesningen vi har hatt om problemløsing i M2-kurset baserer seg på Melbyes' bok. Søkingen i pensumlitteraturen var en vei for å skaffe oss kunnskap om problemløsning og undervisning i problemløsning, og et godt utgangspunkt for å gå i gang med undersøkelsen vår. I oppgavedelen "Om emnet problemløsning i pensumlitteraturen" høster vi altså fruktene av andres arbeid, og det ligger ingen nyskapning i denne delen.

Vi ville gjøre en eller annen form for feltarbeid, for å få litt praktisk erfaring om problemløsing i undervisning og om hvordan en underviser i problemløsing. Med en praksisperiode foran oss i november 1997 hadde vi noen rammer å forholde oss til. Vi visste for det første at vi begge skulle inn i en eller flere 10.klasser. For det andre måtte vi ta hensyn til betingelsene for M2- og M3-prosjektet. For det tredje måtte vi ta hensyn til øvingslærernes planer. Opplegget vi skulle bringe med oss til praksisperioden, måtte ikke ha for stort omfang.
Vi fant ut at en praktisk løsning ville være å lage et oppgavesett, som vi kunne be elevene i de klassene vi skulle til i praksisperioden om å løse. Med tillatelse fra øvingslærer var hensikten (selv om skjemaet sprakk litt) å legge beslag på to matematikktimer i løpet av praksisperioden. Den ene timen skulle gå med til å forklare elevene hva de skulle gjøre, og eksemplifisere med et par oppgaver. I løpet av den første timen skulle elevene starte på oppgavene, og det som da gjensto av arbeid skulle de gjøre ferdig hjemme. I den andre timen skulle vi gjennomgå oppgavene, og gi kommentarer til arbeidsinnsatsen. Vi var litt usikre på elevenes motivsjon for å arbeide med disse oppgavene og hvordan vi skulle løse dette med kommentardelen. Poenget med feltarbeidet var jo nettopp at vi skulle beholde elevenes innleveringer, slik at vi kunne analysere dem senere. Skulle vi gi elevene karakter, og hvordan passet dette inn i øvingslærerens opplegg? Skulle vi spørre elevene om lov til å beholde innleveringene, eller skulle vi ta kopier og gi innleveringene tilbake til elevene? Ville elevene være interessert i å løse oppgavene uten å få karakterer og uten eventuelt å få innleveringene tilbake? Vel, vi løste det slik at vi etter forespørsel fikk beholde elevenes innleveringer. Elevene fikk ikke karakterer, men de fikk muntlige og skriftelige kommentarer til det de hadde gjort. I en av klassene oppsummerte vi også arbeidet, der elevene kom med forslag til en meget enkel oversikt over metoder som kan brukes til å løse matematiske problemer.

Tanken vår var at denne undersøkelsen skulle være et instrument til å få svar på en rekke spørsmål, og å erfare problemløsing i undervisning, slik at vi kunne utvikle noen didaktiske ideer til egen undervisning. Vi ville ta et "snapshot" av elevers strategier for behandling og løsing av matematiske problemer i to eller flere klasser på forskjellige skoler.
De tallmaterialene vi legger til grunn for analysedelen er ikke å regne som en stor nok kilde til å trekke noen konklusjoner eller å generalisere med noen stor sikkerhet, men det kan gi oss en pekepinn om mulige sammenhenger.

Etter at elevene leverte inn oppgavesettene startet en fase med analysering av elevenes arbeid. Vi hadde på forhånd ingen spesielle forventninger til resultatene av analyseringen. Disse spørsmålene var vi interessert i å få svar på:

Hvilke strategier for matematisk problemløsing bruker elever på samme alder? Hvilke strategier er gode (fører ofte til riktige svar) og hvilke er mindre gode (fører sjelden til riktig svar)? Er det samsvar mellom elevenes skriftelige forklaringer og det de faktisk har gjort, eller er det ikke det? Kan vi si noe om hvorfor de gode strategiene ofte fører til riktig svar og omvendt? Er det ut i fra de resultatene vi analyserer mulig å danne seg et grovt bilde av hvilke strategier vi ønsker at våre egne elever skal utvikle? Er det noen tydelige likheter eller ulikheter i strategiene hos elever ved forskjellige skoler?

Primært ønsket vi å få et innblikk i hvilke strategier elever bruker for å løse matematiske problemer, sekundært ønsket vi å se etter forskjeller i strategier og valg av strategier hos elever i to eller flere klasser på forskjellige skoler, slik at vi kunne få noen ideer til egen undervisning. Alt i alt kokte det seg ned til denne problemstillingen:


Hvilke strategier for matematisk problemløsing bruker elever på samme alder, som har ulike lærere med ulike undervisningsmetoder? Hvilke didaktiske ideer peker dette ut for oss som fremtidige matematikklærere?


Oppgavesettet besto av 4 oppgaver og nødvendige ark for besvarelser. Elevene skulle jobbe individuelt med oppgaven, fordi vi ville undersøke hver enkelte elevs strategier for problemløsing. Av de fire oppgavene skulle elevene løse tre, og i tillegg gi en skriftelig forklaring til hvordan de tenkte da de løste oppgaven.

Oppgavene er valgt ut fra visse kriterier. P.g.a. at vi har valgt å slå i sammen prosjektene i M2 og M3 bestemte vi oss for å velge ut oppgavene slik at oppgave 3 og 4 passer inn under betingelsene for M3-prosjektet, mens oppgave 1 og 2 skulle tilfredstille betingelsene for M2-prosjektet. Oppgavene har vi lånt fra kursene i M2 og M3.
De fire oppgavene består av tre såkalte "grubliser"(oppgave 1,2 og 3) og en "normal" oppgave (oppgave 4). Grublisene kan løses med ulike løsningsmetoder, der det er opp til eleven å finne ut hvordan han/hun vil løse dem. I den "normale" oppgaven har vi laget en historie rundt formelen for volumet av en sylinder. Vi valgte å ta med denne oppgaven, for å se om elever forstår når de skal bruke formler de lærer i skolen. Elevene lærer en mendge formler i skolen, men er de like bevisst på når de skal bruke dem, og klarer de å oppdage hvilken formel de skal bruke når de møter en kjent problemstilling i en ukjent ramme? Dette kan jamføres med et av målene i L97 (se nedenfor). Elevene bør bli bevisste på hvilken nytte de har av redskapene for problemløsning.
Oppgavene kan også deles inn i to andre kategorier. Når en har fått et svar på oppgave 1 og 3, går det an å kontrollere om svaret er riktig. Puslespillet i oppgave 3 må være kvadratisk, for at svaret skal være rett! Og når en har fått et svar på oppgave 1, f.eks. 9 høns og 9 griser, så kan man enkelt regne seg frem til om dette svaret stemmer. Dette lar seg ikke gjøre for oppgave 2 (og 4). Her ligger det kritiske i hvilken strategi man velger, og man kan ikke like enkelt kontrollere om svaret man får er rett eller galt. Det interessante blir da å se om det blir flere riktige svar på oppgave 1 og 3, enn på oppgave 2 og 4, når de har muligheten til å kontrollere svarene sine for oppgave 1 og 3. Hvis det blir omtrent like mange gale svar på oppgave 1 og 3 som på 2 og 4, kan vi da si at elevene ikke har vært flinke nok til å kontrollere svaret, eller at de ikke har klart å vurdere om svaret er sannsynlig?

Hvor aktuell er vår oppgave i forhold til intensjonene i den nye læreplanen, L97? Under Felles mål for matematikkfaget finner vi bl.a. disse punktene:

  • at elevene stimuleres til å bruke sin fantasi, sine ressurser og sine kunnskaper til å finne løsningsmetoder og -alternativer gjennom undersøkende og problemløsende aktivitet og bevisste valg av verktøy og redskaper.

  • at elevene utvikler et positivt forhold til matematikk, opplever faget som meningsfylt og bygger opp selvfølelse og tillit til egne muligheter i faget.

  • at matematikk blir et redskap elevene kan ha nytte av på skolen, i fritiden og i arbeids- og samfunnsliv.


Av de målene vi har plukket ut av L97, kan vi se at målene i læreplanen er meget like de målsetningene vi nevnte for vår undervisning. Intensjonene er at elevene skal utvikle egne verktøy for problemløsning, og at de skal kunne ta bevisste valg av hvilke verktøy de vil bruke til ulike problemer. Målet er også at elevene utvikler selvtillit og et bevisst forhold til sine ferdigheter i faget, og de peker på at elevene skal ha nytte av de verktøyene de utvikler både utenfor og i skolen. Det ser altså ut til at våre målsetninger er relevante i forholdt til målsetningene i læreplanen. Og det var jo betryggende!
Vi tar en titt på den første av de tre målsetningene vi har plukket ut. Forfatterne har valgt å bruke ordformuleringer som "stimuleres", "til å finne" og "gjennom undersøkende og problemløsende aktivitet". Hva betyr så disse formuleringene? Slik vi kan tolke "stimuleres", betyr det at læreren skal ha en veiledende rolle. "til å finne" og "gjennom undersøkende og problemløsende aktivitet" At elevene bør jobbe aktivt med å utvikle og forske på ulike løsningsmetoder, og at de skal finne ut av hvilke problemtyper som kan løses med de verktøyene de utvikler. Denne målsetningen beskriver med andre ord at elevene i forhold til L97 skal jobbe etter prinsippene i den induktive læringsmetoden.

Mellom "Innledning" og "Oppsummering og konklusjon" er oppgaven delt inn i "Om emnet problemløsning i pensumlitteraturen" og "Analyse av undersøkelse". I "Om emnet problemløsning i pensumlitteraturen" har vi nettopp lett etter hva vi kunne finne om emnet vårt i pensumlitteraturen og forelesningsnotatene våre. I "Analyse av undersøkelse" kan du finne resultatene av undersøkelsen i form av tabeller og en analyse av tabellene. Deretter følger en oppsummering av analysen og de didaktiske ideene vi kan konkludere med i "Oppsummering og konklusjon".

Til toppen av dokumentet


 2. Om emnet problemløsning i pensumlitteraturen
Problemløsning kan enten være et begrep for en arbeidsmåte/metode som kan brukes i flere fag, eller som et hovedemne i matematikk. Problemløsning som arbeidsmetode er er kjent fra den amerikanske reformpedagogikken, med Dewey i spissen, som jobbet med hvordan skolen skulle bli en del av barnet "naturlige hverdag". Gjennom dette arbeidet utviklet Dewey sin problemløsningsmetode i fem trinn (første trinn er å registrere eller føle problemet, andre trinn er å analysere problemet, tredje trinn er å finne mulige måter å løse problemet på, fjerde trinn er å bestemme seg for en metode og femte trinn er å avgjøre om metoden fungerer eller ikke), og senere utviklet Kilpatrick problemløsningsmetoden videre ved å organisere læringen rundt prosjekter.

Problemløsning som hovedemne innenfor matematikkfaget kan defineres som en oppgave som man stilles ovenfor og ikke kjenner noen prosedyre for å løse. Skolen har en viktig oppgave i å lære elevene å møte nye situasjoner med aktivitet i stedet for passivitet. Elevene må få strategier, trening og selvtillit til å ta seg fram på egenhånd. Oppfinnsomhet, eksperimentering og diskusjon med andre elever kan være sentrale løsningsstrategier. Problemløsning er like mye å finne rett strategi som å løse oppgaven.

Forskere ved navn Keranto og Freudenthal mener at matematikkfaget for ofte handler om å tilegne seg figurative kunnskaper (rutineferdigheter som tabellkunnskap, hoderegning, overslagsregning, algoritmeregning, regning med lommeregner ...). Resultatet er at faget ikke blir en del av elevenes hverdag, og at det derfor oppfattes som kjedelig. De mener at faget heller bør dreie seg om at elevene skal tilegne seg operative kunnskaper. Elevene må ha figurative kunnskaper for å lære operative kunnskaper, og omvendt at læring av operative kunnskaper skal skape et behov for å lære mer figurativ kunnskap.
Flere av de som forsker på matematisk problemløsning hører til vygotskyskolen. De mener at språket er viktig for utvikling av tanken. Tanken og forståelsen bygger på språklige mellommenneskelige forhold. Forståelsen utvikles fra språklig aktivitet til indre tankevirksomhet. Dette betyr at elever bør snakke mye og diskutere løsninger på matematiske problemer, for å bli bedre til løse problemer. Dessuten vil språklig engasjement og aktivitet sannsynligvis øke motivasjonen for faget.
Keranto m.fl. har også undersøkt effekten av problemorientert undervisning i matematikk kontra tradisjonell undervisning. Med andre ord sammenlignet de den induktive og den deduktive læringsmetoden. Kort- og langtidsvirkningene hellet svakt til fordel for problemløsningsmetoden, mens elevenes motivasjon for faget økte betraktelig med problemløsningsmetoden. Keranto nevner at forhold som at elevene er vant med en tradisjonell undervisningsform, tradisjonell skoletid og lærere som er uvant med denne undervisningsformen kan være årsaker til at resultatene ikke var mer utslagsgivende, og han konkluderer med at det må utføres flere undersøkelser.

Forskeren Burton mener at det kreves en del av skolen, for å bruke problemløsning som arbeidsmetode i matematikkundervisningen. Læreren må tenke på hvordan klasserommet skal organiseres. Skal elevene jobbe to og to, i grupper eller hele klassen samlet? Det avhenger av problemet som skal løses.
Lærerens oppgave varierer fra det å tilrettelegge materiell, innhente grunnleggende informasjoner, være inspirator til å hjelpe på prosessen ved å formulere igangsettende spørsmål. Læreren må være bevisst på sin rolle i et slikt opplegg, slik at eleven er mest mulig aktiv og løser problemet så selvstendig som mulig.
Det er viktig å utvikle faste rutiner ved problemløsning. Arbeidsformen må ikke utarte seg til lek og avslapping, og det er derfor nødvendig å lære elevene strategier for problemløsning. De må lære seg å stille nødvendige og problemløsende spørsmål for å komme videre med arbeidet. Problemløsing er ingen lineær prosess, med en dynamisk prosess, d.v.s. at det etter å ha stilt spørsmål med et utgangspunkt i et problem som vi finner løsningen på, oppstår nye problemer, og nye spørsmål formuleres.

Polya har utviklet en denne framgangsmåten for problemløsning, som til forveksling kan ligne på Deweys problemløsningsmetode:

  1. Eleven må forstå problemet:
    Man må erkjenne at det faktisk foreligger et problem, og så må det analyseres. Kan jeg løse problemet? Forstår jeg teksten og kjenner jeg til de symbolene som brukes?
    Og så må eleven velge å forholde seg til problemet eller ikke.

  2. Eleven må legge en plan:
    Man må velge strategi. Er det noen sider av problemet som er kjent fra før av? Kan jeg omformulere problemet?
    Hvilke alternativer (konkretiseringsmateriell, hjelpefigur, løse et enklere og lignede problem først, tabell, gjette og sjekke, uoppstilt ligning ...) har jeg?

  3. Gjennomføring av planen:
    Det er viktig å kontrollere det man gjør underveis.

  4. Å se tilbake:
    Arbeidet er nå utført, og da må man vurdere løsningsmåten. Var løsningen god, kan jeg være fornøyd med resultatet? Virker svaret sannsynlig?

Til toppen av dokumentet


 3. Analyse
Vi fikk i alt tilbake 50 besvarelser av 75 utdelte oppgavesett i tre klasser. Vi velger her å kalle klassene for A, B og C. Klassene A og B er parallelle 10. klasser med samme lærere ved samme skole, mens klasse C er en 10. klasse ved en annen skole. Det var påfallende få besvarelser fra den klassen som i tabellene er merket B. Klassens lærere mente klassen var generelt svak i matematikk. Denne vurderingen støttes av observasjoner i praksisperioden. Dessverre er det ikke mulig å sammenholde dette med antall besvarelser, da klassen var preget av et uvanlig stort sykefravær i perioden undersøkelsen ble utført. Dette medførte at noen elever fikk oppgavesettene senere enn andre, samt at noen ikke leverte sine besvarelser før oppgavene var gjennomgått med elevene. Disse siste er ikke tatt med i undersøkelsen, men betraktes som ikke besvarte.

Vi har analysert besvarelsene for å finne hvilke strategier elevene har valgt for å løse oppgavene. Vi har talt med besvarelser der strategien er åpenbar, selv om den ikke er forklart. Vi har sett på effektiviteten av den enkelte strategi, i den forstand å komme frem til rett svar. Slik vår undersøkelse er utført, kan vi ikke direkte vurdere strategienes effektivitet i forhold til tidsbruk eller arbeidsbyrde. Videre har vi sett på forklaringene til løsningene, og samsvaret mellom strategi og forklaring. Det å vurdere hvor klar en forklaring er, er et spørsmål om skjønn. Det er tydelig at elevene ikke er vant til å skulle forklare hva de har gjort og hvorfor, i hvert fall ikke skriftlig. I vår vurdering av elevenes forklaringer har vi derfor utvist stor forståelse for elevenes manglende erfaring med dette.

Vi må påpeke at tallmaterialet vi opererer med er for lite til å gi grunnlag for særlig bastante påstander eller konklusjoner. Likevel bør det være tilstrekkelig til å gi en pekepinn om mulige sammenhenger.

Data fra besvarelsene er ordnet i tre tabeller. Tabell 1 viser en oppstilling av identifiserbare strategier og effektiviteten av disse, fordelt på klasser, og samlet. Tabell 2 viser fordelingen av samtlige besvarelser på strategier, graden av klarhet i forklaringene, og graden av samsvar mellom strategi og forklaring. Tabell 3 gir oversikt over den enkelte besvarelse, med rette og gale svar fordelt på oppgavene. Den gir også oversikt over svarprosent for oppgavene, både for hver klasse og samlet.

For hver oppgave vil vi se på hvilke strategier som er valgt, om noen strategier peker seg ut som spesielt vellykkede, om det er strategier som skiller seg ut ved å føre til gjengangerfeil, og om det er påviselige forskjeller mellom klassene

Til toppen av dokumentet


 Elevenes valg av oppgaver
Elevene ble bedt om å besvare tre av de fire oppgavene. Nesten alle elevene som leverte besvarelser har svart på de to første oppgavene. 4 av 5 elever har svart på oppgave 3, mens bare knapt 1 av 5 har svart på oppgave 4. To mulige forklaringer på dette peker seg ut. Den ene er at elevene har startet med den første oppgaven, og så tatt dem i tur og orden. Etter ni år på skolen har de antagelig funnet ut at det er en vanlig måte å gjøre ting på. Den andre muligheten er at elevene har kjent igjen den siste oppgaven som en tilnærmet normal øvingsoppgave, som standard skolematematikk, og ingen grublis. Oppgaven kan dermed ha blitt oppfattet som kjedelig. Flere elever har da også kommentert at denne siste oppgaven ikke er noen grublis. En av disse elevene har for øvrig levert en besvarelse der alle fire oppgavene er korrekt løst.

For klasse B kan det nevnes at denne klassen har en jevnere fordeling mellom de to siste oppgavene enn hva som gjelder for de to andre klassene. Etter muntlige kommentarer i klassen å dømme, har flere elever funnet oppgave 3 uløselig, og de har derfor gjort oppgave 4 i stedet.

Til toppen av dokumentet


 Oppgave 1
Oppgaven krever at eleven tar hensyn til 4 opplysninger; to implisitte og to eksplisitte. De implisitte opplysningene ligger i at eleven må innse at hver gris har fire bein og at hver høne har to, hvilket medfører at "det går to høner på hver gris". Dette må kombineres med eksplisitte opplysninger om det totale antall dyr og det totale antall bein.

Denne oppgaven hører til en kategori problemer der det er om å gjøre å finne det unike tilfellet der en rekke betingelser er oppfylt. Slike oppgaver kan løses på mange ulike måter, og på forskjellig nivå. Det kan forventes mange riktige svar, fordi det er mulig å sette svaret tilbake i oppgaven, og slik se om det stemmer.

De aller fleste svar var riktige. De fleste forklaringer inneholder et element av logisk resonnement om bein pr. dyr og om hvilket utgangspunkt som er best for raskt å finne en løsning.

Løsningsstrategier
  • Prøve og feile: Dette er den vanligste metoden. Den består i at eleven starter med å finne et egnet utgangspunkt. Dette kan være ren gjetning, men er oftest basert på at det enten er like mange dyr av hvert slag, eller at halvparten av beina er grisebein og halvparten hønsebein. Deretter regner eleven ut hva antagelsen medfører, og kan korrigere i riktig retning.

  • Tegne figur og fordele bein: Dette er en grafisk løsning med små krav til ferdigheter i tallbehandling. Eleven tegner opp de 18 dyrekroppene, og utstyrer samtlige med to bein. Overskytende ben fordeles to til hver til det er tomt: Tell opp, voila. Det finnes også en bakvendt versjon av denne strategien. Bena tegnes opp, og ringes inn to og to. Deretter samles to og to ringer for å komme ned i rett antall dyr. I disse tilfellene finnes derfor et element av enten gjetting eller logikk.

  • Tabell: Eleven setter opp en systematisk tabell over hvor mange dyr forskjellige fordelinger av de 52 beina medfører.

  • Logikk: To elever har brukt følgende logiske resonnement: Dyrene har to eller fire bein. Hvis alle 18 dyr har to bein, så blir det 36 bein, altså 16 for lite. Mankoen utgjør 8 par bein, altså må 8 av dyrene være griser, og dermed 10 høns.

  • Likninger med to ukjente: Elevene hadde ennå ikke lært dette, men en elev løste oppgaven på denne måten. En annen identifiserte dette som nytt og ukjent lærestoff, og valgte derfor en annen strategi.

  • Kombinasjoner: Noen elever kombinerte grafisk løsning med gjetting. Med dette menes at det grafiske innslaget var mer enn en arbeidstegning og mindre enn en full løsning.

Vellykkede strategier
Siden det for denne oppgavens vedkommende var lett for elevene å kontrollere om svaret de hadde funnet var riktig, har tilsynelatende alle strategier vært vellykkede. Det som kan diskuteres er om alle disse metodene er like gode eller formålstjenlige. Graden av anvendt matematisk eller logisk finesse er svært varierende.

Standardfeil
Enkelte elever glemmer, eller overser, at de 52 bena skal fordeles på et oppgitt antall dyr, og svarer i retning av at "det kan være 6 griser og 14 høns".

Forskjeller mellom skoler og klasser
Vi har ikke funnet betydelige forskjeller mellom de tre klassene på denne oppgaven.

Til toppen av dokumentet


 Oppgave 2
Denne oppgaven har en helt annen struktur enn den første. Den kan løses på flere måter, men i alle tilfeller må eleven forstå at det må gjøres noe spesielt på slutten av løsningsprosedyren for å få et riktig svar. Dette er åpenbart ikke så lett å innse, vi fikk inn tilnærmet like mange gale som riktige svar.

Her er det om å gjøre å forstå systemet hele veien. I motsetning til den første oppgaven er det her ikke mulig å sammenholde svaret med betingelsene, og slik se om svaret er rett. Her kan man bare kontrollere det man har gjort på et elementært nivå. Vanskeligheten ligger i at det hjelper lite å kontrollere tallene, hvis det er logikken i strategien som svikter.

Løsningsstrategier
  • Regnestykke ut fra netto pr. tre min.: Den nest vanligste strategien gikk ut på se oppgaven som et regnestykke. Eleven regner først ut billens netto progresjon etter en klatring og en pause, altså (3cm-1cm=) 2cm på (2 min+1min=) 3 min. Deretter deles avstanden 15cm på netto progresjon, hvilket gir 7,5, som så ganges med 3 min. Svaret blir dermed 22,5 minutter, og eleven sitter i saksa. Kun en av elevene som valgte denne strategien forsto at den førte galt hen, og korrigerte strategien.

  • Grafisk løsning på en akse: Dette var den vanligste strategien. Eleven tegner en akse, og markerer avstand langs denne. Deretter tegnes billens bevegelser inn med streker, buer el.l., mens minuttene noteres og summeres etterpå, eller summeres i hodet underveis.

  • Grafisk løsning på to akser: Eleven tegner et to-akset koordinatsystem, med avstand og tid på hver sin akse, og plotter inn billens bevegelser.

  • Sette opp tabell: Dette minner om den en-aksede grafiske metoden. Den går ut på å sette opp tall i to kolonner, tid i den ene, avstand i den andre.

  • Kombinasjon av flere strategier: En elev valgte en kombinasjon av regnestykke og tabell.
Vellykkede strategier
Grafisk løsning på to akser ser ut til å være en god strategi, men vi har for få svar til å utbasunere noe som helst. Fordelen med denne strategien er at den gir svært god oversikt. Eleven slipper å håndtere flere faktorer parallelt i hodet, fordi all relevant informasjon er representert på papiret. Dessuten er det lett å se når billen har kommet til toppen, slutten gir seg selv. Brudd i logikken unngås.

Grafisk løsning på en akse fungerer også brukbart, fordi det er lett å se når billen har kommet til toppen. Eleven unngår dermed det som lett blir en felle i en tallbasert strategi. De gale svarene spriker på en måte som tyder på at det kan være vanskelig å holde orden på de to separate opptellingene, uten å ha begge entydig representert.

Standardfeil
Kun en av de 13 elevene som valgte å løse oppgaven gjennom å sette opp et regnestykke forsto at svaret ble galt, og korrigerte strategien. Elevene fulgte slavisk et mønster av tallbehandling, uten å se at siste del av oppgaven medførte et brudd på mønsteret. Når billen etter 18 min har gått seks runder, er den 3cm under kanten. To minutter senere befinner den seg på kanten, og er altså ute. Varianter, som at billen da er sliten og må hvile ett min på kanten, eller sklir 1cm ned og derfor er ute etter 21min 40sek ble av et stort flertall elever regnet som gale.

Grafisk løsning på en akse kan være vanskelig å holde orden på, fordi bare en av opptellingene er klart fremstilt på papiret. Eleven må arbeide svært systematisk, eller svært konsentrert for ikke å gå surr i tellingen.

Forskjeller mellom skoler og klasser
Klasse B leverte uforholdsmessig mange gale svar, 8 av 10. Alle svarene var etter strategiene regnestykke eller en-akset grafisk løsning. Klasse A havnet midt på. Klasse C skilte seg ut med mange rette svar. Klassen foretrakk grafiske løsninger, to-akset grafisk løsning forekom kun i denne klassen.

Til toppen av dokumentet


 Oppgave 3
Denne oppgaven er rett og slett et puslespill, og det er ikke av de letteste! Her kreves fremfor alt tålmodighet og systematisk grubling. Dette er, i likhet med den første, en oppgave hvor det er lett å vite om man har funnet riktig løsning, men å komme dit er ikke banalt. Oppgaven kan gjøres lettere ved å regne ut arealet av bitene, og slik finne sidelengden i kvadratet. Dette gir en ramme å pusle innenfor, og gir hint om at sidene i kvadratet ikke kan følge langs linjene i det påtrykte rutemønsteret. Dessuten kan rutemønsteret i seg selv lede noen til å tenke areal. På den annen side kan rutemønsteret vekke ideer om hvordan rutemønstre pleier å oppføre seg i (skole)matematikken, og således villede elevene til å forutsette at det ikke kan eller skal vris.

Flere elever har kommentert at de har fått hjelp med denne oppgaven, skjønt hjelpen ikke alltid førte frem...

Løsningsstrategier
  • Prøve og feile: Hva skal man si? Eleven pusler og pusler inntil tilfeldigheter og hjernens mønstergjenkjenningsalgoritmer finner løsningen.

  • Finne sidelengde vha. arealberegning: Eleven regner ut arealet av bitene, tar kvadratroten av dette, og får sidelengden i kvadratet. Dette gir rammen for kvadratet, som bitene skal passe innenfor.

  • Fornekt virkeligheten: Dette er en interessant variant: Hvis man ikke kan løse oppgaven slik som den er gitt, så forandrer man enten målet, eller de gitte betingelsene. Dette resulterer selvsagt ikke i den løsningen som er "fasit", men kan vel sies å tyde på en kreativ innstilling, og vilje til ikke å bare gi opp. Det er fristende å kalle denne strategien "Askepotts stesøster": Hvis skoen ikke passer, spikk til foten!

Vellykkede strategier
En av elevene kommenterte at oppgaven ble lettere hvis man snudde bitene for å unngå det misvisende rutemønsteret.

Standardfeil
Dersom frustrasjonsnivået blir høyt nok, er det tydeligvis noen som foretrekker å redigere en ubehagelig virkelighet. En elev "redigerte" størrelse og form på bitene for å få det til å passe. To elever konkluderte med at det var en bit for mye, uansett hva oppgaven sa, og festet den "overflødige" biten oppå resten av puslespillet...

Forskjeller mellom skoler og klasser
Påfallende mange elever i klasse C har ikke levert noen forklaring på sin tankegang. Det var høy feilprosent og få besvarelser fra klasse B.

Til toppen av dokumentet


 Oppgave 4
Som enkelte av elevene ganske riktig bemerket, er denne oppgaven slett ikke noen grublis. Det er en ganske vanlig geometrisk oppgave rundt formelen for volum av sylinder, lett forkledd i en tekst. Oppgaven består i å se hvilken formel som kommer til anvendelse, manipulere formelen, sette inn tall, og regne ut.

I likhet med den andre oppgaven er det vanskelig å se om det svaret man har kommet til er riktig, såfremt det er av riktig størrelsesorden.

Løsningsstrategier
  • Sett inn i formel: Man tager, enten fra sitt hode, eller fra læreboka, formelen for volum av en sylinder: v=pr²h. Dette omformes til , så setter man inn tall og regner ut.
Vellykkede strategier
Hvis man forstår hvilken formel som kommer til anvendelse, og husker den, så ser det ut til å gå bra...

Standardfeil
Dette er en oppgave som forutsetter at man enten husker eller slår opp formelen for volum av en sylinder. De to elevene som kom til gale svar, husket formelen galt. I det ene tilfellet ble formelen blandet med formel for volum av en kjegle.

Forskjeller mellom skoler og klasser
Tallmaterialet er svært tynt, kun åtte besvarelser, men: Ingen av de tre i klasse C som svarte på denne oppgaven ga noen forklaring. Det var forholdsvis mange besvarelser fra klasse B. Begge de gale besvarelsene kom fra klasse B.

Til toppen av dokumentet

 Strategienes effektivitet

Tabell 1
Samsvar mellom strategi og svar Rette svar Gale svar Sum Prosent
Oppgave 1 Klasse:  A   B   C   A   B   C  Rette Gale Rette Gale
Prøve og feile, a.k.a. gjett og sjekk 6 4 9 2     19 2 90% 10%
Tegne figur og fordele bein 5 2 3       10   100% 0%
Sette opp tabell 2   1       3   100% 0%
Logikk     2       2   100% 0%
Sette opp to likninger med to ukjente     1       1   -4 -4
Kombinasjon av flere strategier 11   32       4   100% 0%
Oppgave 2                    
Regnestykke ut fra netto pr. tre min. 1     3 5 4 1 12 8% 92%
Grafisk løsning på en akse 6 2 11 2 3 1 19 6 76% 24%
Grafisk løsning på to akser     3       3   100% 0%
Sette opp tabell 1     2     1 2 33% 67%
Kombinasjon av flere strategier       13       1 -4 -4
Oppgave 3                    
Prøve og feile 12   8       20   100% 0%
Finne sidelengde vha. arealberegning 1 1 1   2   3 2 60% 40%
Fornekt virkeligheten       2 1     3 0% 100%
Oppgave 4                    
Bruke formel for volum av sylinder 2 1 3   2   6 2 75% 25%

1: Likning med to ukjente + prøve og feile
2: Tegne figur + prøve og feile
3: Tabell + regnestykke
4: Kun ett svar

Til toppen av dokumentet


 Tabell 2:
Oppgave 1
Strategier
Forklaring Samsvar mellom strategi og forklaring
Klasse:  A   B   C  Sum    A   B   C  Sum    A   B   C  Sum
Prøve og feile, a.k.a. gjett og sjekk 8 4 9 21 Klar 11 6 12 29 God 13 6 12 31
Tegne figur og fordele bein 5 2 3 10 Vag 4 1 4 9 Mindre god 2   3 5
Sette opp tabell 2   1 3 Mangler 3 3 5 11 Strat. el. forkl. mangler 3 4 6 13
Logikk     2 2                    
Sette opp to likninger med to ukjente     1 1                    
Kombin. av flere strategier 11   32 4                    
Ukjent strategi 2 4 2 8                    

1: Likning med to ukjente + prøve og feile
2: Tegne figur + prøve og feile


Oppgave 2
Strategier
Forklaring Samsvar mellom strategi og forklaring
Klasse:  A   B   C  Sum    A   B   C  Sum    A   B   C  Sum
Regnestykke ut fra netto pr. tre min. 4 5 4 13 Klar 12 8 13 33 God 12 10 13 35
Grafisk løsning på en akse 8 5 12 25 Vag 3 2 2 7 Mindre god 2   2 4
Grafisk løsning på to akser     3 3 Mangler 2   5 7 Strat. el. forkl. mangler 3   5 8
Sette opp tabell 3     3                    
Kombin. av flere strategier 13     1                    
Ukjent strategi 1   1 2                    

3: Tabell + regnestykke


Oppgave 3
Strategier
Forklaring Samsvar mellom strategi og forklaring
Klasse:  A   B   C  Sum    A   B   C  Sum    A   B   C  Sum
Prøve og feile 12   7 19 Klar 14 2 9 25 God 13 2 9 24
Finne sidelengde vha. arealberegning 1 3 1 5 Vag         Mindre god 1     1
Fornekt virkeligheten 2 1 1 4 Mangler 3 3 10 16 Strat. el. forkl. mangler 3 3 10 16
Ukjent strategi 2 1 10 13                    


Oppgave 4
Strategier
Forklaring Samsvar mellom strategi og forklaring
Klasse:       A   B   C  Sum    A   B   C  Sum    A   B   C  Sum
Bruke formel for volum av sylinder 2 3 3 8 Klar 1 2   3 God 1 3   4
          Vag   1   1 Mindre god        
          Mangler 1   3 4 Strat. el. forkl. mangler 1   3 4


Til toppen av dokumentet


 4. Konklusjon

Oppsummering
Vi har i denne oppgaven studert strategier for problemløsning i tre 10. klasser. Forskjellige strategier er samlet inn ved hjelp av et oppgavesett, der elevene selv har beskrevet hvordan de har tenkt for å løse oppgavene. Observasjoner gjennom en snau måned, og 50 besvarte oppgavesett med inntil fire svar, gir med få unntak et for begrenset materiale til at vi har bakgrunn for mer enn å antyde tendenser.

Til toppen av dokumentet


 Forskjeller og likheter
Det er ikke vår hensikt med denne oppgaven å vurdere eller sammenlikne skoler og undervisningsmetoder. Dertil er vår teoretiske og praktiske kompetanse for liten, dessuten er vår undersøkelse altfor begrenset i alle dimensjoner. Noen generelle betraktninger kan likevel være av interesse.

Klassene A og B har vært undervist på tradisjonelt vis. Klasse C har hatt en tilsvarende undervisning frem til midten av 9. klasse. Deretter har denne klassen benyttet en alternativ arbeidsform, som blant annet har medført at elevene arbeider mer selvstendig, og i større grad har lært seg å disponere tiden selv. Resultatene av oppgave 2 kan gi et hint om at dette har gitt elevene i klasse C større erfaring i å velge en god strategi blant flere mulige.

Klassene A og C ble betegnet som generelt flinke klasser av sine lærere. Vi merker oss at selv om disse klassene representerer forskjellige skoler og forskjellige arbeidsformer, så er resultatene fra disse klassene påfallende like. Videre ser vi at det var målbar forskjell mellom klassene A og B, som er parallelle klasser på samme skole, med samme lærere og samme arbeidsform. Med et mulig unntak av oppgave 2, drukner altså eventuelle effekter av forskjell i arbeidsform i den tilfeldige spredningen av evner og kunnskapsnivå klasser i mellom.

Til toppen av dokumentet


 Didaktiske momenter
Våre observasjoner og undersøkelse antyder at klasse C kan ha hatt utbytte av en mer selvstendig arbeidsform, men vi har altfor spinkelt grunnlag til å kunne vurdere induktive læringsmåter mot deduktive. Men, selv om vi har ikke bakgrunn for å trekke konklusjoner om hvilke undervisningsmetoder som bør velges, mener vi likevel å kunne si noe om hva undervisningen bør inneholde, uansett valgt undervisningsmetode eller arbeidsform.

  • Det kommer klart frem i vår undersøkelse at elevene ikke er fortrolige med å forklare sine strategier. Som det går frem av tabell 2 har mange elever unnlatt å forklare sin strategi. Videre er et betydelig antall forklaringer så uklare, at de selv med godvilje må betegnes som vage. Selv blant de forklaringene som er betegnet som klare, har et flertall av elevene beskrevet hva de har gjort, ikke hva de har tenkt. Vi mener det er viktig å bevisstgjøre tankeprosessen som fører frem til valg av strategi for å løse et matematisk problem. Dersom denne prosessen ikke er bevisst, blir det lett til at en ukritisk bruker den første strategien en finner. Dette er ikke nødvendigvis den beste strategien.

  • Vi mener at elevene jevnlig bør møte problemløsningsoppgaver, altså oppgaver der det ikke er innlysende hvilken metode som må brukes for å komme til et svar. Læreren bør gjøre et poeng av at øvingsoppgaver også trener valg av verktøy, ikke bare øver anvendelse av en spesifikk metode eller rutine, slik oppgaver med oppstilt algoritme gjør.

  • For å bevisstgjøre tankeprosessen bak valg av strategi i problemløsningsoppgavene bør elevene forklare, gjerne skriftlig – og i ettertid diskutere – hva de gjør og hvorfor. Slike diskusjoner er for øvrig i tråd med Vygotsky; muntlig aktivitet klargjør tanken.

  • Problemløsningsoppgaver burde kunne innpasses uansett arbeidsform for øvrig, f.eks. som "Ukas nøtt" eller innleveringsgrubliser.

  • Vi fikk inn langt flere gale svar på oppgave 2 enn på oppgave 1. Dette betyr at elevene stort sett var flinke til å kontrollere svaret der dette var mulig.

  • Resultatene fra oppgave 2 forteller oss at elevene i større grad bør trenes i å løse problemer der svaret ikke kan brukes til kontroll. I slike tilfeller er det nyttig å finne flere mulige strategier, slik at en kan velge den sikreste. Det er derfor viktig at elevene utvikler en strategi i valg av strategi.

  • Resultatene fra oppgave 4 kan tyde på at formler som bare pugges, ikke forstås, blir trylleformler. Å bruke slik figurativ kunnskap oppfattes av elevene som kjedelig. Figurativ kunnskap glemmes lett, og er vanskelig å forklare.

Vi har i denne oppgaven beskjeftiget oss med elevers strategier for matematisk problemløsning uavhengig av arbeidsform for øvrig. Å beskrive konsekvensene av en undervisning som i vesentlig grad baseres på problemløsning vil raskt gå ut over grensene til denne oppgaven. L-97 legger heller ikke like stor vekt på problemløsning som M-87 gjorde. Vi vil derfor i korte trekk nøye oss med å peke på følgende:

  • Som Burton påpekte, krever slik undervisning mye av både skole og lærer. F.eks. må læreren være sin rolle som veileder og tilrettelegger svært bevisst for ikke å overstyre elevene, mens skoledagens organisasjon i økter på 45 minutter er lite hensiktsmessig.

  • Læreren må fungere som en utrettelig motivator.

  • Men i følge Kerantos undersøkelse øker elevenes motivasjon for faget.

  • Det er en lang og arbeidskrevende prosess å lære elevene å lære.

  • Men problemløsning som metode er interessant i forbindelse med tilpasset opplæring. Elevene vil uvilkårlig arbeide på forskjellige nivåer, slik at individuelt tilpasset opplæring og vurderingsformer nær sagt følger med på kjøpet.

Til toppen av dokumentet


5. Vedlegg



 PROSJEKTBESKRIVELSE


Tittel: Ungdomsskoleelevers strategier for matematisk problemløsning

Problemstilling: Hvilke strategier for matematisk problemløsning bruker elever på samme alder, men på forskjellige skoler?

Beskrivelse av oppgavens innhold: Å ta et "snapshot" av strategier for behandling og løsning av matematiske problemer i to eller flere klasser på forskjellige skoler. Metode: Skriftlig materiell samt observasjoner.

Bakgrunn for valg av oppgave: En viktig oppgave for oss som fremtidige matematikklærere vil være å ta fatt i elevenes strategier, og belyse dem slik at elevene utvikler et tilstrekkelig arsenal av egnede metoder og verktøy til selv å vurdere og løse matematiske problemer. Dessuten vil denne oppgaven hjelpe oss i å utvikle metodiske ideer.

Arbeidsplan: Materiell lages før / tidlig i praksisperioden. Elevene løser oppgavene, materiell samles inn, og elevene får tilbakemeldinger i løpet av praksis. Informasjon systematiseres og analyseres etter praksisperioden.

Til toppen av dokumentet













 Grubliser - 3 av 4


Regn ut 3 av de 4 oppgavene. Viktig, viktig: Husk å forklare hvordan du tenkte da du løste oppgaven. Forklaringen skal være med egne ord, og den skal være lang nok (noen linjer) til at den er forståelig for andre enn deg selv.



 1. Dyrene på gården.

På en gårdsplass trasker det noen griser og høns rundt omkring, tilsammen er det 18 dyr. Gjennom en sprekk i vinduslemmen i kjelleren kan lille Fredrik se at dyrene har 52 bein tilsammen, men han klarer ikke å se hva som er hønsebein og hva som er grisebein. Kan du finne ut av hvor mange griser og hvor mange høns det er på gårdsplassen?

Til analyse av oppgave 1


 2. En bille i syltetøyglasset!

En bille er havnet på bunnen av et 15 cm høyt syltetøyglass, og vil ut. På to minutter klatrer den 3 cm oppover. Men da må den hvile i ett minutt, og imens glir den 1 cm tilbake. Hvor lang tid bruker billa på å klatre ut av glasset?

Til analyse av oppgave 2


 3. Kvadrat-puslespillet (se eget ark).

Klipp bitene på arket fra hverandre. Klarer du å lage et kvadrat med alle bitene? Når du har funnet løsningen kan du godt teipe bitene sammen/lime dem på et ark, sånn at du ikke glemmer løsningen.
puslespill
Til analyse av oppgave 3


 4. Mopedsylinderen.

Katrine skal kjøpe et nytt stempel til mopeden sin, og da må
hun vite diameteren på stempelet. Men hun kan ikke finne
verktøysettet sitt, slik at hun kan få målt diameteren nøyaktig.
Og i brosjyren står det bare at motorens slaglengde er 3.9 cm.
Nederst på sylinderen står det også et tall. 49 ccm (49 cm³ ).
Hvordan kan Katrine bruke disse opplysningene til å regne
ut diameteren til stempelet?

Til analyse av oppgave 4




Til toppen av dokumentet











 Begrepsavklaring

 Figurativ kunnskap:
Læring av fakta som bare lagres i hukommelsessystemet uten å
knyttes til noen kognitiv struktur. At blåbær er blå trenger ingen
logisk forankring.
Tilbake

 Operativ kunnskap:
Logisk-materisk læring, kunnskap som er knyttet til generelle
skjema som har sitt utgangspunkt i handling overfor tingene og ikke
i observert egneskaper ved dem. Det å kunne lage syltetøy av
blåbærene er en operativ kunnskap.
Tilbake

 Induktiv læringsmetode:
Discovery learning, inquiry learning og problemløsnings-
metoden er eksempler på beslektede metoder.
Man abstraherer og generaliserer ut
i fra konkrete situasjoner og formulerer regler. Eksempel:
Emnet i naturfagtimen er metallenes egenskaper. Elevenes
oppgave er å gjøre noen forsøk med ulike metaller, og beskrive
hvilke felles egenskaper metallene har.
Tilbake

 Dedukiv læringsmetode:
Reception learning. Man blir presentert for en regelen, og man
får en forklaring og eksempler. Gjennom arbeid med oppgaver
ser man at regelen stemmer. Eksempel: Emnet i naturfagtimen
er metallenes egenskaper. Læreren forklarer for elevene hvilke
egenskaper metallene har felles og lager en regel. Deretter
gjør elevene forsøk med ulike metaller, for å se om regelen
stemmer.
Tilbake

Til toppen av dokumentet








 Litteraturliste

Melbye, P. E. : Matematikkvansker. Universitetsforlaget 1995
Solerød, Erling: Pedagogiske grunnproblemer i historisk lys. TANO 1994
L-97
Mellin-Olsen, Stig: Kunnskapsformidling. Caspar 1989

Til toppen av dokumentet






 Tabell 3: Enkeltbesvarelser
Klasse A Oppgave 1 Oppgave 2 Oppgave 3 Oppgave 4
Svar nr. Rett Feil Rett Feil Rett Feil Rett Feil
1 1     1 1      
2 1     1 1      
3 1   1   1      
4 1       1      
5 1     1 1      
6 1   1   1      
7 1   1   1      
8 1   1   1      
9 1     1     1  
10 1   1   1   1  
11 1     1 1      
12 1   1   1      
13 1   1   1      
14 1   1   1      
15   1   1   1    
16 1     1   1    
17   1   1 1      
18 1     1 1      
Sum 16 2 8 9 15 2 2  
Prosent 89% 11% 47% 53% 88% 12% 100% 0%
Svarprosent 100% 94% 94% 11%

Klasse B Oppgave 1 Oppgave 2 Oppgave 3 Oppgave 4
Svar nr. Rett Feil Rett Feil Rett Feil Rett Feil
19 1     1       1
20 1   1          
21 1     1   1    
22   1   1   1    
23       1        
24 1     1        
25 1              
26   1   1   1    
27 1     1     1  
28 1   1         1
29 1     1 1      
Sum 8 2 2 8 1 3 1 2
Prosent 80% 20% 20% 80% 25% 75% 33% 67%
Svarprosent 91% 91% 36% 27%

Klasse C Oppgave 1 Oppgave 2 Oppgave 3 Oppgave 4
Svar nr. Rett Feil Rett Feil Rett Feil Rett Feil
30 1     1 1      
31 1   1   1      
32 1   1   1      
33 1     1 1      
34 1   1   1      
35 1   1   1      
36 1   1   1      
37 1     1 1      
38 1   1   1      
39 1     1     1  
40 1   1   1      
41 1   1   1      
42 1   1   1      
43 1   1       1  
44 1   1   1      
45 1   1   1      
46 1   1   1      
47 1     1 1      
48 1   1   1      
49 1   1   1      
50 1         1 1  
Sum 21 0 15 5 18 1 3 0
Prosent 100% 0% 75% 25% 94% 6% 100% 0%
Svarprosent 100% 95% 90% 14%
        
Total 45 4 25 22 34 6 6 2
Prosent 92% 8% 53% 47% 85% 15% 75% 25%
Svarprosent 98% 94% 80% 16%

Til toppen av dokumentet








Sist endret 27.12.99
Tekst og bilder © forfatterne 1997 - 1998
Denne utgave © S. Solø 1999